Задача 10150598 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

3^{\frac{2 x}{x - 3}} - 3^{\frac{2 x - 3}{x - 3}} \geq 3^{\frac{x}{x - 3}} - 3

В показателях степени дробь с знаменателем x − 3.

ОДЗ

x - 3 \neq 0 ⟺ x \neq 3

Все показатели степени выражаются через x/(x−3).

\frac{2 x}{x - 3} = 2 \cdot \frac{x}{x - 3}

\frac{2 x - 3}{x - 3} = \frac{(x - 3) + x}{x - 3} = 1 + \frac{x}{x - 3}

3^{\frac{2 x}{x - 3}} = {(3^{\frac{x}{x - 3}})}^{2}, 3^{\frac{2 x - 3}{x - 3}} = 3 \cdot 3^{\frac{x}{x - 3}}

Обозначим t = 3^{x/(x−3)}. Показательная функция строго положительна, поэтому t > 0.

{(3^{\frac{x}{x - 3}})}^{2} - 3 \cdot 3^{\frac{x}{x - 3}} \geq 3^{\frac{x}{x - 3}} - 3

t = 3^{\frac{x}{x - 3}}, t > 0

t^{2} - 3 t \geq t - 3

t^{2} - 4 t + 3 \geq 0

D = 16 - 12 = 4

t = \frac{4 \pm 2}{2} \begin{matrix} = 3 \\ = 1 \end{matrix}

(t - 1) (t - 3) \geq 0

Ведущий коэффициент положительный — парабола вверх, ≥ 0 вне корней. Условие t > 0 не ограничивает — оба корня положительны.

Подставляем t = 3^{x/(x−3)}. Основание 3 > 1, возрастает — сравниваем показатели.

t \leq 1

3^{\frac{x}{x - 3}} \leq 3^{0}

\frac{x}{x - 3} \leq 0

t \geq 3

3^{\frac{x}{x - 3}} \geq 3^{1}

\frac{x}{x - 3} \geq 1

Случаи связаны через ИЛИ — объединяем результаты.

\frac{x}{x - 3} \leq 0

x \in [0; 3)

\frac{x}{x - 3} - 1 \geq 0

\frac{3}{x - 3} \geq 0

x \in (3; + \infty)

Случаи связаны через ИЛИ — объединяем. Точка x = 3 выколота по ОДЗ.

x \in [0; 3) \cup (3; + \infty)