Задача 10150583 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Раскрываем скобку и группируем

ОДЗ — вся числовая прямая. Заметим: 4^{x−3} = (2^{x−3})². Раскроем скобку и сгруппируем слагаемые по парам.

{(2^{x - 3})}^{2} - 16 \cdot 2^{x - 3} + x^{2} \cdot 2^{x - 3} - 16 x^{2} \geq 0

2^{x - 3} (2^{x - 3} - 16) + x^{2} (2^{x - 3} - 16) \geq 0

(2^{x - 3} - 16) (2^{x - 3} + x^{2}) \geq 0

Группируем (1+2) и (3+4): из первой пары выносим 2^{x−3}, из второй — x². Общий множитель (2^{x−3} − 16).

шаг 2.Четыре случая

Второй множитель 2^(x−3) + x² — смешанный (показательная + алгебраическая), метод интервалов неприменим. Разбираем произведение по случаям.

A \cdot B \geq 0 ⟺ {\begin{matrix} A \geq 0 \\ B \geq 0 \end{matrix} или {\begin{matrix} A \leq 0 \\ B \leq 0 \end{matrix} или A = 0 или B = 0

\begin{matrix} а) {\begin{matrix} 2^{x - 3} - 16 \geq 0 \\ 2^{x - 3} + x^{2} \geq 0 \end{matrix} \\ б) {\begin{matrix} 2^{x - 3} - 16 \leq 0 \\ 2^{x - 3} + x^{2} \leq 0 \end{matrix} \\ в) 2^{x - 3} - 16 = 0 \\ г) 2^{x - 3} + x^{2} = 0 \end{matrix}

шаг 3.Решаем (а) и (б)

Основание 2 > 1, возрастает — снимаем основание степени.

\begin{matrix} а) & б) \\ {\begin{matrix} 2^{x - 3} - 16 \geq 0 \\ 2^{x - 3} + x^{2} \geq 0 \end{matrix} & {\begin{matrix} 2^{x - 3} - 16 \leq 0 \\ 2^{x - 3} + x^{2} \leq 0 \end{matrix} \\ 2^{x - 3} > 0, x^{2} \geq 0 & 2^{x - 3} > 0, x^{2} \geq 0 \\ 2^{x - 3} + x^{2} > 0, x \in ℝ & 2^{x - 3} + x^{2} > 0, x \in ℝ \\ 2^{x - 3} \geq 16 & 2^{x - 3} + x^{2} \leq 0 — решений нет \\ 2^{x - 3} \geq 2^{4} & ⌀ \\ x - 3 \geq 4 \\ x \geq 7 \\ x \in [7; + \infty) & x \in ⌀ \end{matrix}

Ключевое наблюдение: 2^{x−3} + x² — сумма положительного и неотрицательного, она не может быть ≤ 0. Поэтому (б) сразу пустое, а в (а) второе неравенство не ограничивает.

шаг 4.Решаем (в), (г) и находим ответ

Решаем оставшиеся случаи и объединяем все четыре результата. Из (б) и (г) ответ пустой, из (в) — одна точка, которая уже входит в (а). Итого ответ совпадает с (а).

\begin{matrix} в) & г) \\ 2^{x - 3} - 16 = 0 & 2^{x - 3} + x^{2} = 0 \\ 2^{x - 3} = 2^{4} & 2^{x - 3} > 0, x^{2} \geq 0 \\ x - 3 = 4 & 2^{x - 3} + x^{2} > 0 — решений нет \\ x = 7 & ⌀ \\ x \in {7} & x \in ⌀ \end{matrix}

условие

шаг 1.Раскрываем скобку и группируем

шаг 2.Четыре случая

шаг 3.Решаем (а) и (б)

шаг 4.Решаем (в), (г) и находим ответ

ответ