Задача 10150584 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

9^{x - 4} - 3^{x - 4} (9 - x^{2}) - 9 x^{2} \geq 0

шаг 1.Раскрываем скобку и группируем

ОДЗ — вся числовая прямая. Заметим: 9^{x−4} = (3^{x−4})². Раскроем скобку и сгруппируем слагаемые по парам.

{(3^{x - 4})}^{2} - 9 \cdot 3^{x - 4} + x^{2} \cdot 3^{x - 4} - 9 x^{2} \geq 0

3^{x - 4} (3^{x - 4} - 9) + x^{2} (3^{x - 4} - 9) \geq 0

(3^{x - 4} - 9) (3^{x - 4} + x^{2}) \geq 0

Группируем (1+2) и (3+4): из первой пары выносим 3^{x−4}, из второй — x². Общий множитель (3^{x−4} − 9).

шаг 2.Четыре случая

Произведение ≥ 0 в четырёх случаях. В (а) и (б) оба множителя одного знака — пересекаем. В (в) и (г) равенство нулю — объединяем.

A \cdot B \geq 0 ⟺ {\begin{matrix} A \geq 0 \\ B \geq 0 \end{matrix} или {\begin{matrix} A \leq 0 \\ B \leq 0 \end{matrix} или A = 0 или B = 0

\begin{matrix} а) {\begin{matrix} 3^{x - 4} - 9 \geq 0 \\ 3^{x - 4} + x^{2} \geq 0 \end{matrix} \\ б) {\begin{matrix} 3^{x - 4} - 9 \leq 0 \\ 3^{x - 4} + x^{2} \leq 0 \end{matrix} \\ в) 3^{x - 4} - 9 = 0 \\ г) 3^{x - 4} + x^{2} = 0 \end{matrix}

шаг 3.Решаем (а) и (б)

Основание 3 > 1, возрастает — снимаем основание степени.

\begin{matrix} а) & б) \\ {\begin{matrix} 3^{x - 4} - 9 \geq 0 \\ 3^{x - 4} + x^{2} \geq 0 \end{matrix} & {\begin{matrix} 3^{x - 4} - 9 \leq 0 \\ 3^{x - 4} + x^{2} \leq 0 \end{matrix} \\ 3^{x - 4} > 0, x^{2} \geq 0 & 3^{x - 4} > 0, x^{2} \geq 0 \\ 3^{x - 4} + x^{2} > 0, x \in ℝ & 3^{x - 4} + x^{2} > 0, x \in ℝ \\ 3^{x - 4} \geq 9 & 3^{x - 4} + x^{2} \leq 0 — решений нет \\ 3^{x - 4} \geq 3^{2} & ⌀ \\ x - 4 \geq 2 \\ x \geq 6 \\ x \in [6; + \infty) & x \in ⌀ \end{matrix}

Ключевое наблюдение: 3^{x−4} + x² — сумма положительного и неотрицательного, она не может быть ≤ 0. Поэтому (б) сразу пустое, а в (а) второе неравенство не ограничивает.

шаг 4.Решаем (в), (г) и находим ответ

Решаем оставшиеся случаи и объединяем все четыре результата. Из (б) и (г) ответ пустой, из (в) — одна точка, которая уже входит в (а). Итого ответ совпадает с (а).

\begin{matrix} в) & г) \\ 3^{x - 4} - 9 = 0 & 3^{x - 4} + x^{2} = 0 \\ 3^{x - 4} = 3^{2} & 3^{x - 4} > 0, x^{2} \geq 0 \\ x - 4 = 2 & 3^{x - 4} + x^{2} > 0 — решений нет \\ x = 6 & ⌀ \\ x \in {6} & x \in ⌀ \end{matrix}

ответ

x \in [6; + \infty)

$4^{x - 3} - 2^{x - 3} (16 - x^{2}) - 16 x^{2} \geq 0$