Задача 10150644 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{2 \cdot 8^{x - 1}}{2 \cdot 8^{x - 1} - 1} \geq \frac{3}{8^{x} - 1} + \frac{8}{64^{x} - 5 \cdot 8^{x} + 4}

шаг 1.Область допустимых значений

Все знаменатели дробей не обращаются в нуль.

ОДЗ

{\begin{matrix} 2 \cdot 8^{x - 1} - 1 \neq 0 \\ 8^{x} - 1 \neq 0 \\ 64^{x} - 5 \cdot 8^{x} + 4 \neq 0 \end{matrix}

64^{x} - 5 \cdot 8^{x} + 4 = (8^{x} - 1) (8^{x} - 4)

(8^{x} - 1) (8^{x} - 4) \neq 0

8^{x} \neq 1, 8^{x} \neq 4

x \neq 0, x \neq \frac{2}{3}

64ˣ − 5·8ˣ + 4 = (8ˣ − 1)(8ˣ − 4); его корни 8ˣ = 1 и 8ˣ = 4 уже исключены первыми двумя условиями. 8ˣ = 1 = 8⁰ даёт x = 0; 8ˣ = 4 = 8^(2/3) даёт x = 2/3.

шаг 2.Делаем замену

Вводим показательную функцию как новую переменную; она положительна, поэтому t > 0.

t = 8^{x}, t > 0

2 \cdot 8^{x - 1} = \frac{t}{4}, 64^{x} = t^{2}

64^{x} - 5 \cdot 8^{x} + 4 = (t - 1) (t - 4)

\frac{\frac{t}{4}}{\frac{t}{4} - 1} = \frac{t}{t - 4}

\frac{t}{t - 4} \geq \frac{3}{t - 1} + \frac{8}{(t - 1) (t - 4)}

шаг 3.Сводим к одной дроби

\frac{t}{t - 4} - \frac{3}{t - 1} - \frac{8}{(t - 1) (t - 4)} \geq 0

\frac{t (t - 1) - 3 (t - 4) - 8}{(t - 1) (t - 4)} \geq 0

\frac{t^{2} - 4 t + 4}{(t - 1) (t - 4)} \geq 0

\frac{{(t - 2)}^{2}}{(t - 1) (t - 4)} \geq 0

t(t − 1) − 3(t − 4) − 8 = t² − t − 3t + 12 − 8 = t² − 4t + 4 = (t − 2)².

шаг 4.Метод интервалов в t

Корни числителя: t = 2 — чётной кратности ((t − 2)²) → петелька, знак через точку не меняется; закрашен (нестрогое ≥, даёт изолированную точку). Точки разрыва знаменателя: t = 1, t = 4 — выколоты. На (−∞; 1) дробь положительна и формально проходит ≥ 0, но условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось — после пересечения остаётся (0; 1) ∪ {2} ∪ (4; +∞).

Пробная точка t = 3 на интервале (2; 4): (3 − 2)²/((3 − 1)(3 − 4)) = 1/(−2) < 0 → знак «−». Через петельку при t = 2 знак не меняется.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 8ˣ. Основание степени 8 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

Условие t > 0 не проверяем: t = 8ˣ > 0 при любом x. Три части t-решения дают три случая по x; t = 2 — изолированная точка (петелька).

1) 0 < 8^{x} < 1

8^{x} < 8^{0}

x < 0

2) 8^{x} = 2

8^{x} = 8^{1 / 3}

x = \frac{1}{3}

3) 8^{x} > 4

8^{x} > 8^{2 / 3}

x > \frac{2}{3}

Кубический корень: 8^(1/3) = 2, 8^(2/3) = 4. Точка x = 1/3 — изолированное решение (из петельки t = 2).

ответ

x \in (- \infty; 0) \cup {\frac{1}{3}} \cup (\frac{2}{3}; + \infty)