шаг 1.Область допустимых значений

Подкоренное выражение неотрицательно, и оба знаменателя не обращаются в нуль. Второй знаменатель — квадратный трёхчлен относительно 3^{√x}, раскладываем его на скобки.

шаг 2.Делаем замену

Пусть q = 3^{√x}. Так как √x ≥ 0, показательная функция даёт q ≥ 1.

q² − 84q + 243 = (q − 3)(q − 81) по теореме Виета: сумма корней 84, произведение 243 → корни 3 и 81.

шаг 3.Сводим к одной дроби

q(q − 3) − (15q − 81) = q² − 18q + 81 = (q − 9)².

шаг 4.Метод интервалов в q

Числитель (q − 9)² — корень q = 9 чётной кратности → петелька, знак через точку не меняется, при нестрогом ≥ закрашен (изолированное решение). Точки разрыва знаменателя: q = 3, q = 81 — выколоты. На (−∞; 3) дробь положительна и формально проходит ≥ 0, но условие замены q ≥ 1 отсекает левую часть — после пересечения остаётся [1; 3) ∪ {9} ∪ (81; +∞).

шаг 5.Обратная замена

3^{√x} = 9 ⟺ √x = 2 ⟺ x = 4; 3^{√x} = 81 ⟺ √x = 4 ⟺ x = 16. Точка x = 4 — изолированное решение.