условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатель не обращается в нуль. Это квадратный трёхчлен по 3ˣ: 3·9ˣ − 7·3ˣ + 2 = (3ˣ⁺¹ − 1)(3ˣ − 2). Функция 3ˣ возрастает (основание 3 > 1)Показательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
, поэтому равенство степеней равносильно равенству показателей.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
ОДЗ
1/3 = 3⁻¹, поэтому x = −1; 2 — не степень тройки, поэтому 3ˣ = 2 решается логарифмом: x = log₃2.
шаг 2.Раскладываем числитель и знаменатель
Числитель раскладываем группировкой: разбиваем −11x² = x² − 12x² и 12x = −6x + 18x, тогда из трёх групп выносится общий множитель (2x + 1). Знаменатель уже разложили в ОДЗ.
Группировка: 2x³ + x² = x²(2x+1); −12x² − 6x = −6x(2x+1); 18x + 9 = 9(2x+1). Общий множитель (2x + 1) даёт (2x+1)(x² − 6x + 9) = (2x+1)(x − 3)².
шаг 3.Метод интервалов в x
Числитель (x − 3)²(2x + 1) — многочлен, знаменатель (3ˣ⁺¹ − 1)(3ˣ − 2) — произведение монотонных показательных множителей (каждый обнуляется ровно в одной точке); к дроби применим метод интерваловКогда работает метод интервалов?
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0..
➀ Полиномы и дроби — корни находятся алгебраически, между ними знак постоянен.
Пример:
Пример:
➁ Разности степеней одного основания
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
➂ Разность одинаковых степеней
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
· В ② и ③ только разность! Сумма всегда , корня нет → не учитываем.
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Смешанные — не работает
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0.
Корни числителя: x = −1/2 — закрашен (нестрогое ≤); x = 3 чётной кратности → петелька, знак через точку не меняется, в ответе изолированная точка. Точки разрыва знаменателя: x = −1 (3ˣ⁺¹ = 1) и x = log₃2 (3ˣ = 2) — выколоты по ОДЗ. Знак расставляем пробной точкой и чередованием.
Пробная точка x = 0: (0 − 3)²(2·0 + 1)/((3 − 1)(1 − 2)) = 9·1/(2·(−1)) = −9/2 < 0 → знак «−». При x = 3 петелька — знак не меняется.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.