Задача 10150573 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{3^{2 x} - 54 \cdot {(\frac{1}{3})}^{2 (x + 1)} - 1}{x + 3} \leq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не равен нулю.

ОДЗ

x + 3 \neq 0 ⟺ x \neq - 3

шаг 2.Приводим числитель к 9ˣ

Заметим: 3²ˣ = (3²)ˣ = 9ˣ. Перепишем степени в числителе через 9ˣ.

3^{2 x} = {(3^{2})}^{x} = 9^{x}

{(\frac{1}{3})}^{2 (x + 1)} = {(\frac{1}{3})}^{2 x} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9^{x}} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{9 \cdot 9^{x}}

54 \cdot {(\frac{1}{3})}^{2 (x + 1)} = \frac{54}{9 \cdot 9^{x}} = \frac{6}{9^{x}}

Использованы свойства степеней: aᴹ⁺ᴺ = aᴹ · aᴺ и a²ˣ = (a²)ˣ.

шаг 3.Замена t = 9ˣ

После замены числитель принимает новый вид. Замена t = 9ˣ, причём t > 0, так как показательная функция всегда положительна.

9^{x} - \frac{6}{9^{x}} - 1

t = 9^{x}, t > 0

Числитель = t - \frac{6}{t} - 1 = \frac{t^{2} - t - 6}{t} = \frac{(t - 3) (t + 2)}{t}

Виета для t² − t − 6: произведение −6, сумма 1 → корни 3 и −2.

шаг 4.Метод интервалов в t

Обозначим числитель A = (t−3)(t+2)/t. Дробь A/(x+3) ≤ 0 только в двух случаях: числитель и знаменатель разных знаков. При этом x + 3 ≠ 0 по ОДЗ, поэтому знаменатель строго больше или строго меньше нуля:

\frac{A}{x + 3} \leq 0

\begin{matrix} Случай 1 & Случай 2 \\ {\begin{matrix} A \leq 0 \\ x + 3 > 0 \end{matrix} & {\begin{matrix} A \geq 0 \\ x + 3 < 0 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} \frac{(t - 3) (t + 2)}{t} \leq 0 \\ x + 3 > 0 \end{matrix} & {\begin{matrix} \frac{(t - 3) (t + 2)}{t} \geq 0 \\ x + 3 < 0 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} t \in (0; 3] \\ x > - 3 \end{matrix} & {\begin{matrix} t \in [3; + \infty) \\ x < - 3 \end{matrix} \end{matrix}

Пробная t = 1: (1−3)(1+2)/1 = −6 < 0 → знак «−». Выноска от нуля — условие замены t = 9ˣ > 0.

шаг 5.Обратная замена

Подставляем t = 9ˣ. Основание 9 > 1, возрастает — знак неравенства сохраняется. Условие 0 < 9ˣ выполнено автоматически, так как показательная функция всегда положительна.

\begin{matrix} {\begin{matrix} 0 < 9^{x} \leq 3 \\ x > - 3 \end{matrix} & {\begin{matrix} 9^{x} \geq 3 \\ x < - 3 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x \leq \frac{1}{2} \\ x > - 3 \end{matrix} & {\begin{matrix} x \geq \frac{1}{2} \\ x < - 3 \end{matrix} \\ x \in (- 3; \frac{1}{2}] & x \in ⌀ \end{matrix}

Случай 2 пуст: x ≥ 1/2 и x < −3 несовместимы. 9ˣ ≤ 3: перепишем 3 = 9^{1/2}, тогда x ≤ 1/2.

ответ

x \in (- 3; \frac{1}{2}]