Задача 10150757 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{1}{4^{x} - 2^{x + 1} + 1} \leq \frac{4^{x + 2}}{32^{x} - 2 \cdot 16^{x} + 8^{x}}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль. Левый знаменатель — квадратный трёхчлен относительно 2ˣ: 4ˣ − 2ˣ⁺¹ + 1 = (2ˣ)² − 2·2ˣ + 1 = (2ˣ − 1)². Правый знаменатель содержит тот же множитель (2ˣ − 1)².

ОДЗ

4^{x} - 2^{x + 1} + 1 \neq 0

{(2^{x} - 1)}^{2} \neq 0

2^{x} \neq 1

x \neq 0

(2ˣ − 1)² ≠ 0 ⟺ 2ˣ ≠ 1; 1 = 2⁰, поэтому x = 0.

шаг 2.Замена и сведение к дроби

Вводим t = 2ˣ (t > 0, показательная функция всегда положительна). Оба знаменателя выражаются через (t − 1)²; правую дробь 16t²/(t³(t − 1)²) сокращаем на t², затем приводим всё к одной дроби.

t = 2^{x}, t > 0

4^{x} - 2^{x + 1} + 1 = {(t - 1)}^{2}

32^{x} - 2 \cdot 16^{x} + 8^{x} = t^{3} {(t - 1)}^{2}

4^{x + 2} = 16 \cdot 4^{x} = 16 t^{2}

\frac{1}{{(t - 1)}^{2}} \leq \frac{16 t^{2}}{t^{3} {(t - 1)}^{2}}

\frac{1}{{(t - 1)}^{2}} \leq \frac{16}{t {(t - 1)}^{2}}

\frac{1}{{(t - 1)}^{2}} - \frac{16}{t {(t - 1)}^{2}} \leq 0

\frac{t - 16}{t {(t - 1)}^{2}} \leq 0

4ˣ − 2ˣ⁺¹ + 1 = t² − 2t + 1 = (t − 1)²; 32ˣ − 2·16ˣ + 8ˣ = t⁵ − 2t⁴ + t³ = t³(t − 1)².

шаг 3.Метод интервалов в t

Корни числителя: t = 16 — закрашен (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: 0 — выколота; 1 (чётная кратность 2 → петелька, знак через точку не меняется) — выколота. Условие замены t > 0 ничего нового не даёт — на (−∞; 0) дробь и так не проходит по знаку.

Пробная точка t = 2 на интервале (1; 16): (2 − 16)/(2·(2 − 1)²) = −14/2 = −7 < 0 → знак «−». Через петельку при t = 1 знак не меняется (это (t − 1)² чётной кратности). Через выколотую t = 0 знак чередуется, на (−∞; 0) получаем «+». Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» плюс закрашенный корень t = 16: t ∈ (0; 1) ∪ (1; 16] — оно автоматически лежит в t > 0 из замены.

шаг 4.Обратная замена

Подставляем t = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется. Точка t = 1 (x = 0) выколота.

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 2ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница интервала (0; 16] выполняется автоматически — остаётся 2ˣ ≤ 16.

0 < 2^{x} \leq 16, 2^{x} \neq 1

x \leq 4, x \neq 0

ответ

x \in (- \infty; 0) \cup (0; 4]

$\frac{1}{4^{x} - 2 \cdot 2^{x} + 1} \leq \frac{4^{x + 1}}{32^{x} - 2^{4 x + 1} + 8^{x}}$