шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не обращается в нуль.

126 не является степенью пятёрки, поэтому 5ˣ = 126 решается логарифмом: x = log₅126.

шаг 2.Делаем замену

Пусть t = 5ˣ, t > 0, так как показательная функция всегда положительна.

шаг 3.Сводим к одной дроби

По теореме Виета для t² − 126t + 125 = 0: сумма корней равна 126, произведение равно 125. Ищем два числа с такой суммой и произведением: это 125 и 1 (125 + 1 = 126 и 125 · 1 = 125). Значит t² − 126t + 125 = (t − 125)(t − 1).

шаг 4.Метод интервалов в t

Корни числителя: t = 1 и t = 125 — закрашены (нестрогое ≥). Точка разрыва знаменателя: t = 126 — выколота. Оба корня числителя положительны, и точка разрыва 126 > 0, поэтому всё решение лежит в области t > 0 — условие замены t = 5ˣ > 0 выполняется автоматически. Отдельная ось для t > 0 не нужна, рисуем одну ось.

Пробная точка t = 2 на интервале (1; 125): (2 − 125)(2 − 1)/(2 − 126) = (−123)(1)/(−124) > 0 → знак «+».

шаг 5.Обратная замена

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 5ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t > 0 выполняется автоматически.

log₅126 ≈ 3,004 — чуть больше 3, ведь 125 = 5³. Точка 3 закрашена (5ˣ = 125 даёт x = 3 из первого случая), а log₅126 выколота (разрыв).