условие

14(45−x2−2)2+145−x2−2−4≥0

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не обращается в нуль.

ОДЗ
45−x2−2≠0
45−x2≠2
5−x2≠12
x2≠92
x≠±322

2 = 4^(1/2), поэтому 4^(5−x²) = 2 ⟺ 5 − x² = 1/2 ⟺ x² = 9/2 ⟺ |x| = 3√2/2.

шаг 2.Делаем замену

Пусть t = 4⁵⁻ˣ², t > 0 (показательная функция всегда положительна). Тогда знаменатель 4⁵⁻ˣ² − 2 = t − 2, и всё неравенство выражается через t.

t=45−x2,t>0
14(t−2)2+1t−2−4≥0

шаг 3.Сводим к одной дроби

14+(t−2)−4(t−2)2(t−2)2≥0
−4t2+17t−4(t−2)2≥0
(4t−1)(4−t)(t−2)2≥0

Числитель: 14 + (t − 2) − 4(t − 2)² = −4t² + 17t − 4. Корни: D = 17² − 4·4·4 = 225 = 15², t = (17 ± 15)/8 = 4 и 1/4. Разложение −4(t − 4)(t − 1/4) = (4t − 1)(4 − t).

шаг 4.Метод интервалов в t

Корни числителя t = 1/4 и t = 4 закрашены (нестрогое ≥). Знаменатель даёт корень t = 2 чётной кратности — петелька: знак не меняется, точка выколота. Все интервалы решения лежат в t > 0 — условие замены выполнено автоматически. Решение: 1/4 ≤ t < 2 и 2 < t ≤ 4.

(4t−1)(4−t)(t−2)2≥0
−++−24
14
−∞
+∞
t
Пробная точка t = 1 на (1/4; 2): (4·1 − 1)(4 − 1)/(1 − 2)² = 9 > 0 → «+». Через петельку при t = 2 знак сохраняется.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
+ +
(−∞;a)∪(a;+∞)
≥ 0
+ +
(−∞;+∞)
< 0
+ +
⌀
≤ 0
+ +
{a}
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 4⁵⁻ˣ². Условие t > 0 выполнено автоматически. Основание степени 4 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция y=ax монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
a > 1: возрастает 0 1 x₁ ax₁ x₂ ax₂
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
0 < a < 1: убывает 0 1 x₁ ax₁ x₂ ax₂
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: aA≤aB⟺A≤B (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: aA≤aB⟺A≥B (знак переворачивается).
 — знак неравенства сохраняется. Помним, что 2 = 4^(1/2).
1)14≤t<2
4−1≤45−x2<41/2
−1≤5−x2<12
92<x2≤6
322<|x|≤6
2)2<t≤4
41/2<45−x2≤41
12<5−x2≤1
4≤x2<92
2≤|x|<322
случай 1
−6
−322
322
6
−∞
+∞
x
случай 22−2
−322
322
−∞
+∞
x
ответ2−2
−6
−322
322
6
−∞
+∞
x

3√2/2 ≈ 2,12; √6 ≈ 2,45. Объединяем 2 ≤ |x| ≤ √6 без точек ±3√2/2 (выколоты по ОДЗ).

ответ

x∈[−6;−322)∪(−322;−2]∪[2;322)∪(322;6]
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -