Задача 10150695 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{2^{x}}{2^{x} - 8} + \frac{2^{x} + 8}{2^{x} - 4} + \frac{66}{4^{x} - 12 \cdot 2^{x} + 32} \leq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль. Третий знаменатель — квадратный трёхчлен относительно 2ˣ, раскладываем его на множители и видим те же ограничения.

ОДЗ

4^{x} - 12 \cdot 2^{x} + 32 \neq 0

{(2^{x})}^{2} - 12 \cdot 2^{x} + 32 \neq 0

(2^{x} - 4) (2^{x} - 8) \neq 0

{\begin{matrix} 2^{x} \neq 4 \\ 2^{x} \neq 8 \end{matrix}

{\begin{matrix} x \neq 2 \\ x \neq 3 \end{matrix}

шаг 2.Делаем замену

Пусть t = 2ˣ, t > 0, так как показательная функция всегда положительна.

t = 2^{x}, t > 0

4^{x} = t^{2}, 4^{x} - 12 \cdot 2^{x} + 32 = (t - 4) (t - 8)

\frac{t}{t - 8} + \frac{t + 8}{t - 4} + \frac{66}{(t - 4) (t - 8)} \leq 0

шаг 3.Сводим к одной дроби

\frac{t (t - 4) + (t + 8) (t - 8) + 66}{(t - 4) (t - 8)} \leq 0

\frac{t^{2} - 4 t + t^{2} - 64 + 66}{(t - 4) (t - 8)} \leq 0

\frac{2 t^{2} - 4 t + 2}{(t - 4) (t - 8)} \leq 0

\frac{2 {(t - 1)}^{2}}{(t - 4) (t - 8)} \leq 0

2t² − 4t + 2 = 2(t² − 2t + 1) = 2(t − 1)².

шаг 4.Метод интервалов в t

Числитель 2(t − 1)² ≥ 0. Корень t = 1 чётной кратности → петелька, знак через точку не меняется; закрашен (нестрогое ≤, даёт изолированную точку). Точки разрыва знаменателя: t = 4, t = 8 — выколоты.

Пробная точка t = 0: 2(0 − 1)²/((0 − 4)(0 − 8)) = 2/32 > 0 → знак «+». Через петельку при t = 1 знак не меняется.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

1) 2^{x} = 1

2^{x} = 2^{0}

x = 0

2) 4 < 2^{x} < 8

2^{2} < 2^{x} < 2^{3}

2 < x < 3

Точка x = 0 — изолированное решение (петелька при t = 1).

ответ

x \in {0} \cup (2; 3)