условие
шаг 1.Область допустимых значений
Подкоренное выражение неотрицательно. После деления на 2⁻ˣ оно превращается в 50ˣ − 8.
ОДЗ
шаг 2.Делаем замену
Разделим обе части на 2^{−x/2} > 0; под корнем это делит на 2⁻ˣ. Обозначим p = 50^{x/2} = (5√2)ˣ, причём p > 0.
25ˣ·2ˣ = 50ˣ, 2³⁻ˣ·2ˣ = 8; 5ˣ·2^{x/2} = (5√2)ˣ = 50^{x/2}.
шаг 3.Возводим в квадрат
Корень неотрицателен, поэтому нужна положительная правая часть: 7 − 2p > 0, т.е. p < 7/2. Возводим в квадрат (обе части ≥ 0).
3p² − 28p + 57: D = 784 − 684 = 100, корни (28 ± 10)/6 = 19/3 и 3.
шаг 4.Обратная замена
Возводим 2√2 ≤ p < 3 в квадрат (обе части > 0): 8 ≤ p² < 9, т.е. 8 ≤ 50ˣ < 9.
Функция 50ˣ возрастает (основание 50 > 1),Показательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
поэтому переход к показателям через логарифм по основанию 50 сохраняет знаки неравенства.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
log₅₀8 ≈ 0,53, log₅₀9 ≈ 0,56.