Задача 10150608 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{8^{x} - 5 \cdot 2^{x}}{2^{x} - 2^{4 - x}} \geq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не обращается в нуль.

ОДЗ

2^{x} - 2^{4 - x} \neq 0

2^{x} \neq 2^{4 - x}

x \neq 4 - x

x \neq 2

шаг 2.Выносим множители

Раскладываем 8ˣ = 2ˣ·4ˣ и 2⁴⁻ˣ = 16·2⁻ˣ, затем сокращаем дробь на общий множитель 2ˣ > 0.

8^{x} - 5 \cdot 2^{x} = 2^{x} (4^{x} - 5)

2^{x} - 2^{4 - x} = 2^{x} (1 - 16 \cdot 4^{- x})

\frac{2^{x} (4^{x} - 5)}{2^{x} (1 - 16 \cdot 4^{- x})} \geq 0

\frac{4^{x} - 5}{1 - 16 \cdot 4^{- x}} \geq 0

Сокращение на 2ˣ ничего не портит: 2ˣ > 0 при любом x и в ноль не обращается, поэтому ни корней, ни точек ОДЗ не теряем; положительный множитель на знак дроби не влияет — решение и ответ остаются прежними.

шаг 3.Замена u = 4ˣ

Показательная функция положительна, поэтому u > 0; умножаем числитель и знаменатель на u.

u = 4^{x}, u > 0

4^{- x} = \frac{1}{u}

\frac{u - 5}{1 - \frac{16}{u}} \geq 0

\frac{u (u - 5)}{u - 16} \geq 0

шаг 4.Метод интервалов в u

Корни числителя u = 0 и u = 5 — закрашены (нестрогое ≥), точка разрыва знаменателя u = 16 — выколота.

Пробная точка u = 1: (1)(1 − 5)/(1 − 16) = 4/15 > 0 → знак «+» на (0; 5).

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя u = 4ˣ. Основание степени 4 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

Условие u > 0 из замены отдельно не проверяем: u = 4ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница 0 < 4ˣ первого случая выполняется автоматически и сужения не даёт.

1) 0 < 4^{x} \leq 5

x \leq \log_{4} 5

2) 4^{x} > 16

4^{x} > 4^{2}

x > 2

log₄5 ≈ 1,16.

ответ

x \in (- \infty; \log_{4} 5] \cup (2; + \infty)

$\frac{8^{- x} - 5 \cdot {0,5}^{x}}{2^{- x} - 2^{x + 4}} \geq 0$