условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатель дроби не обращается в нуль.
Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1: 5⁰ = 1. Поэтому 5ˣ = 1 ⟺ x = 0.
шаг 2.Делаем замену
Пусть t = 5ˣ, t > 0, так как показательная функция всегда положительна.
шаг 3.Сводим к одной дроби
По теореме Виета для t² − t − 600 = 0: сумма корней равна −(−1) = 1, произведение равно −600. Ищем два числа с такой суммой и произведением: это 25 и −24 (25 + (−24) = 1 и 25 · (−24) = −600). Значит t² − t − 600 = (t − 25)(t + 24).
шаг 4.Метод интервалов в t
Корни числителя: t = −24 и t = 25 — закрашены (нестрогое ≥). Точка разрыва знаменателя: t = 1 — выколота. Расставляем знаки на оси. Условие замены t = 5ˣ > 0 отсекает корень t = −24 и всю отрицательную полуось — после пересечения остаётся (0; 1) ∪ [25; +∞).
Пробная точка t = 2 на интервале (1; 25): (2 − 25)(2 + 24)/(2 − 1) = (−23)(26)/1 < 0 → знак «−».
шаг 5.Обратная замена
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 5ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t > 0 первого интервала (0; 1) выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 5ˣ < 1.