шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль (знаменатель слева 3·9ˣ − 10·3ˣ + 3 раскладывается на (3·3ˣ − 1)(3ˣ − 3)).

1/3 = 3⁻¹, поэтому x = −1; 3 = 3¹, поэтому x = 1; 2 не является степенью тройки, поэтому 3ˣ = 2 решается логарифмом: x = log₃2.

шаг 2.Делаем замену

Вводим t = 3ˣ, t > 0. Основания 27 и 9 приводим к 3 (27 = 3³, 9 = 3²) и разворачиваем сдвинутые показатели по свойству степени aᵐ⁺ⁿ = aᵐ·aⁿ, выражая каждое слагаемое через t. Знаменатель слева раскладываем на множители.

шаг 3.Выделяем целую часть

Числитель слева кубический, знаменатель квадратный — выделяем целую часть. Раскладываем числитель методом группировки: разбиваем 10t = 3t + 7t, чтобы первые три слагаемых свернулись в t·(3t² − 10t + 3) = t·(3t − 1)(t − 3), а остаток 7t − 5 ушёл в дробную часть.

Группировка: 3t³ − 10t² + 3t = t(3t² − 10t + 3), а 3t² − 10t + 3 = (3t − 1)(t − 3) — тот же знаменатель. Поэтому при делении целая часть = t, в остатке 7t − 5.

шаг 4.Сводим к одной дроби

Числитель: (7t − 5)(t − 2) − (3t − 1)(t − 3) − (t − 3)(t − 2) = 3t² − 4t + 1 = (3t − 1)(t − 1).

шаг 5.Метод интервалов в t

Множитель (3t − 1) сокращается; значение t = 1/3 (x = −1) уже исключено ОДЗ — корень не теряем, на оси t = 1/3 выколота, знак через неё не меняется. Корень числителя: t = 1 — закрашен (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: t = 2, t = 3 — выколоты. На (−∞; 1/3) дробь отрицательна и формально проходит ≤ 0, но условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось — после пересечения остаётся (0; 1/3) ∪ (1/3; 1] ∪ (2; 3).

Пробная точка t = 0,5: (0,5 − 1)/((0,5 − 2)(0,5 − 3)) = (−0,5)/3,75 < 0 → знак «−».

шаг 6.Обратная замена

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 3ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t > 0 первого интервала (0; 1/3) выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 0 < 3ˣ ≤ 1, 3ˣ ≠ 1/3.

log₃2 ≈ 0,63.