Задача 10150593 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

45^{x} - 27^{x} - 18 \cdot 15^{x} + 2 \cdot 9^{x + 1} + 81 \cdot 5^{x} - 3^{x + 4} \leq 0

ОДЗ — вся числовая прямая. Раскладываем составные основания через 3ˣ и 5ˣ.

45^{x} = 9^{x} \cdot 5^{x}, 27^{x} = 9^{x} \cdot 3^{x}

15^{x} = 3^{x} \cdot 5^{x}, 2 \cdot 9^{x + 1} = 18 \cdot 9^{x}, 3^{x + 4} = 81 \cdot 3^{x}

9^{x} \cdot 5^{x} - 9^{x} \cdot 3^{x} - 18 \cdot 3^{x} \cdot 5^{x} + 18 \cdot 9^{x} + 81 \cdot 5^{x} - 81 \cdot 3^{x} \leq 0

Собираем слагаемые с 5ˣ и без 5ˣ. Общий множитель (5ˣ − 3ˣ). Второй множитель — полный квадрат.

5^{x} (9^{x} - 18 \cdot 3^{x} + 81) - 3^{x} (9^{x} - 18 \cdot 3^{x} + 81) \leq 0

(5^{x} - 3^{x}) ({(3^{x})}^{2} - 18 \cdot 3^{x} + 81) \leq 0

(5^{x} - 3^{x}) {(3^{x} - 9)}^{2} \leq 0

(3ˣ)² − 18·3ˣ + 81 = (3ˣ − 9)² — полный квадрат (9² = 81, 2·9 = 18).

(3ˣ − 9)² ≥ 0 всегда. Произведение ≤ 0 только когда 5ˣ − 3ˣ ≤ 0 или (3ˣ − 9)² = 0. Основания > 1, возрастают.

\begin{matrix} {(3^{x} - 9)}^{2} \geq 0 & 5^{x} - 3^{x} \leq 0 & {(3^{x} - 9)}^{2} = 0 \\ x \in ℝ & 5^{x} \leq 3^{x} & 3^{x} = 9 \\ {(\frac{5}{3})}^{x} \leq 1 & 3^{x} = 3^{2} \\ x \leq 0 & x = 2 \end{matrix}

x = 2 — изолированная точка: (5²−3²)·0 = 0 ≤ 0.

x \in (- \infty; 0] \cup {2}