условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатель дроби не равен нулю.
ОДЗ
шаг 2.Приводим числитель к 25ˣ
Заметим: 5²ˣ = (5²)ˣ = 25ˣ. Перепишем степени в числителе через 25ˣ.
Использованы свойства степеней: aᴹ⁺ᴺ = aᴹ · aᴺ и a²ˣ = (a²)ˣ.
шаг 3.Замена t = 25ˣ
После замены числитель принимает новый вид. Замена t = 25ˣ, причём t > 0, так как показательная функция всегда положительна.
Виета для t² − 2t − 15: произведение −15, сумма 2 → корни 5 и −3.
шаг 4.Метод интервалов в t
Обозначим числитель A = 5(t−5)(t+3)/t. Дробь A/(x+2) ≤ 0 только в двух случаях: числитель и знаменатель разных знаков. При этом x + 2 ≠ 0 по ОДЗ, поэтому знаменатель строго больше или строго меньше нуля:
Пробная t = 1: 5(1−5)(1+3)/1 = −80 < 0 → знак «−». Выноска от нуля — условие замены t = 25ˣ > 0.
шаг 5.Обратная замена
Подставляем t = 25ˣ. Основание 25 > 1, возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— знак неравенства сохраняется. Условие 0 < 25ˣ выполнено автоматически, так как показательная функция всегда положительна.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Случай 2 пуст: x ≥ 1/2 и x < −2 несовместимы. 25ˣ ≤ 5: перепишем 5 = 25^{1/2}, тогда x ≤ 1/2.