Задача 10150663 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

{(25^{x} - 4 \cdot 5^{x})}^{2} + 8 \cdot 5^{x} < 2 \cdot 25^{x} + 15

ОДЗ — вся числовая прямая. Замечаем, что выражение 25ˣ − 4·5ˣ повторяется — обозначим его y.

y = 25^{x} - 4 \cdot 5^{x}

y^{2} + 8 \cdot 5^{x} - 2 \cdot 25^{x} - 15 < 0

y^{2} - 2 y - 15 < 0

D = 4 + 60 = 64

y = \frac{2 \pm 8}{2} \begin{matrix} = 5 \\ = - 3 \end{matrix}

- 3 < y < 5

8·5ˣ − 2·25ˣ = −2(25ˣ − 4·5ˣ) = −2y. Ведущий коэффициент положительный — парабола вверх, < 0 между корнями.

Подставляем t = 5ˣ (t > 0). Выделяем полный квадрат и разбиваем двойное неравенство на систему.

t = 5^{x}, t > 0

y = t^{2} - 4 t = {(t - 2)}^{2} - 4

- 3 < {(t - 2)}^{2} - 4 < 5 | + 4

1 < {(t - 2)}^{2} < 9 ⟺ {\begin{matrix} {(t - 2)}^{2} > 1 1 \\ {(t - 2)}^{2} < 9 2 \end{matrix}

1 {(t - 2)}^{2} - 1 > 0

(t - 3) (t - 1) > 0

t < 1 или t > 3

2 {(t - 2)}^{2} - 9 < 0

(t - 5) (t + 1) < 0

- 1 < t < 5

① разность квадратов: (t−2)² − 1 = (t−3)(t−1). ② аналогично: (t−2)² − 9 = (t−5)(t+1), при t > 0 множитель (t+1) > 0, остаётся t < 5.

Основание 5 > 1 — показательная функция возрастает, сравниваем показатели.

0 < 5^{x} < 1

5^{x} < 5^{0}

x < 0

3 < 5^{x} < 5

5^{x} > 3 \Rightarrow x > \log_{5} 3

5^{x} < 5^{1} \Rightarrow x < 1

log₅ 3 ≈ 0,68. Нижнюю границу 5ˣ > 0 в первом случае опускаем — она верна для любого x.

x \in (- \infty; 0) \cup (\log_{5} 3; 1)