Задача 10150704 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\sqrt{3 \cdot 4^{x} - 5 \cdot 2^{x + 1} + 3} \geq 2^{x} - 3

шаг 1.Область допустимых значений

Подкоренное выражение неотрицательно. После замены t = 2ˣ оно раскладывается на множители.

ОДЗ

t = 2^{x}, t > 0, 4^{x} = t^{2}, 5 \cdot 2^{x + 1} = 10 t

3 t^{2} - 10 t + 3 \geq 0

(3 t - 1) (t - 3) \geq 0

t \leq \frac{1}{3} или t \geq 3

D = 100 − 36 = 64, корни t = (10 ± 8)/6, то есть 3 и 1/3; тройка вносится в первую скобку: 3(t − 1/3) = 3t − 1. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому t > 0.

шаг 2.Разбираем два случая

Слева стоит корень — он неотрицателен. Сравниваем его с правой частью t − 3: если она отрицательна, неравенство верно автоматически; если неотрицательна, обе части можно возвести в квадрат.

\sqrt{(3 t - 1) (t - 3)} \geq t - 3

1) t < 3 : правая часть отрицательна, неравенство верно

2) t \geq 3 : (3 t - 1) (t - 3) \geq {(t - 3)}^{2}

(t - 3) ((3 t - 1) - (t - 3)) \geq 0

(t - 3) (2 t + 2) \geq 0

Во втором случае выносим общий множитель (t − 3); скобка 2t + 2 положительна при t > 0, поэтому неравенство выполняется на всём луче t ≥ 3.

шаг 3.Решение в t

Первый случай пересекаем с ОДЗ: из t < 3 остаётся 0 < t ≤ 1/3. Второй случай даёт весь луч t ≥ 3.

Точка t = 0 выколота условием замены: показательная функция строго положительна.

шаг 4.Обратная замена

Подставляем t = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, функция возрастает, поэтому переход к показателям степени сохраняет знаки неравенств.

1) 0 < 2^{x} \leq \frac{1}{3}

x \leq - \log_{2} 3

2) 2^{x} \geq 3

x \geq \log_{2} 3

−log₂3 ≈ −1,58, log₂3 ≈ 1,58. Проверка: x = 2 ⇒ подкоренное выражение равно 48 − 40 + 3 = 11, слева √11 ≈ 3,32, справа 4 − 3 = 1 ✓. Проверка: x = 0 ⇒ подкоренное выражение равно 3 − 10 + 3 = −4 < 0, ОДЗ нарушена — точка не подходит ✓.

ответ

x \in (- \infty; - \log_{2} 3] \cup [\log_{2} 3; + \infty)

$\sqrt{2 \cdot 9^{x} - 7 \cdot 3^{x + 1} + 10} \geq 3^{x} - 10$