условие

15(42−x2−1)2−1642−x2−1+1≥0

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не обращается в нуль.

ОДЗ
42−x2−1≠0
2−x2≠0
x≠±2

шаг 2.Делаем замену

Пусть t = 4²⁻ˣ², t > 0 (показательная функция всегда положительна). Тогда знаменатель 4²⁻ˣ² − 1 = t − 1, и всё неравенство выражается через t.

t=42−x2,t>0
15(t−1)2−16t−1+1≥0

шаг 3.Сводим к одной дроби

15−16(t−1)+(t−1)2(t−1)2≥0
t2−18t+32(t−1)2≥0
(t−2)(t−16)(t−1)2≥0

Общий знаменатель (t − 1)². Числитель: 15 − 16(t − 1) + (t − 1)² = 15 − 16t + 16 + t² − 2t + 1 = t² − 18t + 32 = (t − 2)(t − 16) (по Виета: сумма 18, произведение 32 → корни 2 и 16).

шаг 4.Метод интервалов в t

Точка t = 0 выколота (t = 4²⁻ˣ² > 0): зона (−∞; 0) положительна и формально проходит под ≥ 0, но условие замены t > 0 её отсекает. Корень знаменателя t = 1 чётной кратности — петелька: знак через него не меняется, точка выколота. Корни числителя t = 2 и t = 16 закрашены (нестрогое ≥). Решение: 0 < t < 1, 1 < t ≤ 2 и t ≥ 16.

(t−2)(t−16)(t−1)2≥0
+++−+01216
−∞
+∞
t
Пробная точка t = 4 на (2; 16): (4 − 2)(4 − 16)/(4 − 1)² = (2)(−12)/9 < 0 → знак «−». Через петельку при t = 1 знак сохраняется.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
+ +
(−∞;a)∪(a;+∞)
≥ 0
+ +
(−∞;+∞)
< 0
+ +
⌀
≤ 0
+ +
{a}
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 4²⁻ˣ². Условие t > 0 выполнено автоматически. Основание степени 4 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция y=ax монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
a > 1: возрастает 0 1 x₁ ax₁ x₂ ax₂
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
0 < a < 1: убывает 0 1 x₁ ax₁ x₂ ax₂
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: aA≤aB⟺A≤B (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: aA≤aB⟺A≥B (знак переворачивается).
 — знак неравенства сохраняется.
1)0<t<1
42−x2<40
2−x2<0
x2>2
|x|>2
2)1<t≤2
40<42−x2≤41/2
0<2−x2≤12
32≤x2<2
62≤|x|<2
3)t≥16
42−x2≥42
2−x2≥2
x2≤0
x=0
случай 1
−2
2
−∞
+∞
x
случай 2
−2
−62
62
2
−∞
+∞
x
случай 30
−∞
+∞
x
ответ0
−2
−62
62
2
−∞
+∞
x

√6/2 ≈ 1,22. Объединяем: √6/2 ≤ |x| (без точек ±√2 по ОДЗ) плюс изолированная точка x = 0.

ответ

x∈(−∞;−2)∪(−2;−62]∪{0}∪[62;2)∪(2;+∞)
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -