Задача 10150592 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

45^{x} \cdot 27 - 27^{x + 1} - 12 \cdot 15^{x} + 12 \cdot 9^{x} + 5^{x} - 3^{x} \leq 0

ОДЗ — вся числовая прямая. Раскладываем составные основания через 3ˣ и 5ˣ.

45^{x} = 9^{x} \cdot 5^{x}, 27^{x + 1} = 27 \cdot 9^{x} \cdot 3^{x}

15^{x} = 3^{x} \cdot 5^{x}

27 \cdot 9^{x} \cdot 5^{x} - 27 \cdot 9^{x} \cdot 3^{x} - 12 \cdot 3^{x} \cdot 5^{x} + 12 \cdot 9^{x} + 5^{x} - 3^{x} \leq 0

Собираем слагаемые с 5ˣ и без 5ˣ. Общий множитель (5ˣ − 3ˣ).

5^{x} (27 \cdot 9^{x} - 12 \cdot 3^{x} + 1) - 3^{x} (27 \cdot 9^{x} - 12 \cdot 3^{x} + 1) \leq 0

(5^{x} - 3^{x}) (27 \cdot 9^{x} - 12 \cdot 3^{x} + 1) \leq 0

Произведение ≤ 0: множители разных знаков или равны нулю.

A \cdot B \leq 0 ⟺ {\begin{matrix} A \geq 0 \\ B \leq 0 \end{matrix} или {\begin{matrix} A \leq 0 \\ B \geq 0 \end{matrix} или A = 0 или B = 0

\begin{matrix} а) {\begin{matrix} 5^{x} - 3^{x} \geq 0 \\ 27 \cdot 9^{x} - 12 \cdot 3^{x} + 1 \leq 0 \end{matrix} \\ б) {\begin{matrix} 5^{x} - 3^{x} \leq 0 \\ 27 \cdot 9^{x} - 12 \cdot 3^{x} + 1 \geq 0 \end{matrix} \\ в) 5^{x} - 3^{x} = 0 \\ г) 27 \cdot 9^{x} - 12 \cdot 3^{x} + 1 = 0 \end{matrix}

Раскладываем второй множитель. D = 36 = 6², корни 3ˣ = 1/3 и 3ˣ = 1/9. Основания > 1, возрастают.

27 \cdot {(3^{x})}^{2} - 12 \cdot 3^{x} + 1 = 0

D = 144 - 108 = 36 = 6^{2}

3^{x} = \frac{12 \pm 6}{54} \begin{matrix} = \frac{1}{3} \\ = \frac{1}{9} \end{matrix}

\begin{matrix} а) & б) \\ {\begin{matrix} 5^{x} \geq 3^{x} \\ \frac{1}{9} \leq 3^{x} \leq \frac{1}{3} \end{matrix} & {\begin{matrix} 5^{x} \leq 3^{x} \\ 3^{x} \leq \frac{1}{9} или 3^{x} \geq \frac{1}{3} \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x \geq 0 \\ - 2 \leq x \leq - 1 \end{matrix} & {\begin{matrix} x \leq 0 \\ x \leq - 2 или x \geq - 1 \end{matrix} \\ ⌀ & x \in (- \infty; - 2] \cup [- 1; 0] \end{matrix}

(а) пусто: x ≥ 0 и −2 ≤ x ≤ −1 несовместимы.

Все точки из (в) и (г) уже входят в (б).

\begin{matrix} в) & г) \\ 5^{x} = 3^{x} & 3^{x} = \frac{1}{3} или 3^{x} = \frac{1}{9} \\ x = 0 & x = - 1 или x = - 2 \\ x \in {0} & x \in {- 2; - 1} \end{matrix}

x \in (- \infty; - 2] \cup [- 1; 0]