условие
шаг 1.Двойная замена
ОДЗ — вся числовая прямая. Обозначим показатель t = 4x − x² − 1. Заметим: 9ᵗ = (3ᵗ)². Замена y = 3ᵗ, y > 0 — показательная функция всегда положительна.
Виета для y² − 36y + 243: произведение 243 = 9·27, сумма 36. Парабола ветвями вверх, поэтому ≥ 0 при y ≤ 9 и y ≥ 27.
шаг 2.Обратная замена y → t
Возвращаемся к t. Основание 3 > 1, возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— снимаем основание степени. Обе границы — степени тройки: 9 = 3², 27 = 3³.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
шаг 3.Решаем в x
Подставляем t = 4x − x² − 1 и решаем квадратные неравенства. Ответы случаев объединяем,Когда объединяем, а когда пересекаем?
Если несколько условий связаны через И (одновременно выполняются), берём ПЕРЕСЕЧЕНИЕ множеств. Типичный пример — ОДЗ: «знаменатель 1 ≠ 0 И знаменатель 2 ≠ 0».
Если условия связаны через ИЛИ (выполняется хотя бы одно), берём ОБЪЕДИНЕНИЕ. Типичный пример — метод интервалов: ответ «t ∈ (−∞; −2) (0; +∞)» означает «t < −2 ИЛИ t > 0».
У нас два случая — разные альтернативы из совокупности, связанные через ИЛИ → объединяем.
так как случаи — совокупность (ИЛИ).Случай 1: Виета для x² − 4x + 3 → корни 1 и 3; парабола вверх → ≥ 0 при x ≤ 1 и x ≥ 3.
Случай 2: (x − 2)² ≥ 0 всегда → ≤ 0 только при x = 2 (изолированная точка).Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.