Задача 10150703 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\sqrt{2 \cdot 9^{x} - 7 \cdot 3^{x + 1} + 10} \geq 3^{x} - 10

Подкоренное выражение неотрицательно. После замены t = 3ˣ оно раскладывается на множители.

ОДЗ

2 \cdot 9^{x} - 7 \cdot 3^{x + 1} + 10 \geq 0

(2 t - 1) (t - 10) \geq 0

t \leq \frac{1}{2} или t \geq 10

Пусть t = 3ˣ, причём t > 0, так как показательная функция всегда положительна. Тогда 9ˣ = t², а 7·3ˣ⁺¹ = 21t.

t = 3^{x}, t > 0

9^{x} = t^{2}, 7 \cdot 3^{x + 1} = 21 t

2 t^{2} - 21 t + 10 = (2 t - 1) (t - 10)

\sqrt{(2 t - 1) (t - 10)} \geq t - 10

Сравниваем √(…) ≥ 0 с правой частью t − 10.

1) t - 10 < 0 (t < 10) : с ОДЗ 0 < t \leq \frac{1}{2} — верно всегда

2) t - 10 \geq 0 (t \geq 10) : (2 t - 1) (t - 10) \geq {(t - 10)}^{2}

(t - 10) [(2 t - 1) - (t - 10)] \geq 0

(t - 10) (t + 9) \geq 0 \Rightarrow все t \geq 10

0 < t \leq \frac{1}{2} или t \geq 10

В случае 1 правая часть отрицательна, а корень неотрицателен — неравенство верно. В случае 2 возводим в квадрат (обе части ≥ 0).

Подставляем t = 3ˣ. Основание степени 3 > 1, возрастает — сравниваем показатели степени.

1) 0 < 3^{x} \leq \frac{1}{2}

x \leq - \log_{3} 2

2) 3^{x} \geq 10

x \geq \log_{3} 10

−log₃2 ≈ −0,63, log₃10 ≈ 2,10.

x \in (- \infty; - \log_{3} 2] \cup [\log_{3} 10; + \infty)