Задача 10150643 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

1 + \frac{14}{3^{x} - 9} + \frac{48}{9^{x} - 2 \cdot 3^{x + 2} + 81} \geq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль. Второй знаменатель — квадратный трёхчлен относительно 3ˣ, сворачивается в полный квадрат (3ˣ − 9)².

ОДЗ

3^{x} - 9 \neq 0

9^{x} - 2 \cdot 3^{x + 2} + 81 \neq 0

{(3^{x})}^{2} - 18 \cdot 3^{x} + 81 \neq 0

{(3^{x} - 9)}^{2} \neq 0

3^{x} \neq 9

x \neq 2

9 = 3², поэтому 3ˣ = 9 даёт x = 2.

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0.

t = 3^{x}, t > 0

9^{x} = {(3^{x})}^{2} = t^{2}, 2 \cdot 3^{x + 2} = 18 t

9^{x} - 2 \cdot 3^{x + 2} + 81 = t^{2} - 18 t + 81 = {(t - 9)}^{2}

1 + \frac{14}{t - 9} + \frac{48}{{(t - 9)}^{2}} \geq 0

шаг 3.Сводим к одной дроби

\frac{{(t - 9)}^{2} + 14 (t - 9) + 48}{{(t - 9)}^{2}} \geq 0

\frac{t^{2} - 4 t + 3}{{(t - 9)}^{2}} \geq 0

\frac{(t - 1) (t - 3)}{{(t - 9)}^{2}} \geq 0

(t − 9)² + 14(t − 9) + 48 = t² − 18t + 81 + 14t − 126 + 48 = t² − 4t + 3. По теореме Виета: сумма корней 4, произведение 3 → корни t = 1 и t = 3, значит t² − 4t + 3 = (t − 1)(t − 3).

шаг 4.Метод интервалов в t

Корни числителя: t = 1, t = 3 — закрашены (нестрогое ≥). В знаменателе: t = 9 (чётная кратность 2 → петелька, знак через точку не меняется) — выколота по ОДЗ. На интервале t < 1 дробь положительна и формально проходит ≥ 0, но условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось — после пересечения слева остаётся (0; 1].

\frac{(t - 1) (t - 3)}{{(t - 9)}^{2}} \geq 0

Пробная точка t = 2: (2 − 1)(2 − 3)/(2 − 9)² = (−1)/49 < 0 → знак «−». Через петельку при t = 9 знак не меняется.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 3ˣ. Основание степени 3 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется. Точка t = 9 (x = 2) выколота.

Условие t > 0 не проверяем: t = 3ˣ > 0 при любом x. Три промежутка по t дают три случая по x; выколотая t = 9 — это x = 2 между случаями 2 и 3.

1) 0 < 3^{x} \leq 1

3^{x} \leq 3^{0}

x \leq 0

2) 3 \leq 3^{x} < 9

3^{1} \leq 3^{x} < 3^{2}

1 \leq x < 2

3) 3^{x} > 9

3^{x} > 3^{2}

x > 2

ответ

x \in (- \infty; 0] \cup [1; 2) \cup (2; + \infty)

$1 + \frac{11}{2^{x} - 8} + \frac{28}{4^{x} - 2^{x + 4} + 64} \geq 0$