Задача 10150568 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{4^{x + 1} - 192 \cdot {0,25}^{x + 1} - 4}{x + 2} \leq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не равен нулю.

ОДЗ

x + 2 \neq 0 ⟺ x \neq - 2

шаг 2.Приводим числитель к 4ˣ

Раскладываем показатели: a^{x+1} = aˣ · a. Перепишем степени в числителе через 4ˣ.

4^{x + 1} = 4^{x} \cdot 4 = 4 \cdot 4^{x}

{0,25}^{x + 1} = {(\frac{1}{4})}^{x} \cdot {(\frac{1}{4})}^{1} = \frac{1}{4^{x}} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4 \cdot 4^{x}}

192 \cdot {0,25}^{x + 1} = \frac{192}{4 \cdot 4^{x}} = \frac{48}{4^{x}}

Использованы свойства степеней: aᴹ⁺ᴺ = aᴹ · aᴺ и a²ˣ = (a²)ˣ.

шаг 3.Замена t = 4ˣ

После замены числитель принимает новый вид. Замена t = 4ˣ, причём t > 0, так как показательная функция всегда положительна.

4 \cdot 4^{x} - \frac{48}{4^{x}} - 4

t = 4^{x}, t > 0

Числитель = 4 t - \frac{48}{t} - 4 = \frac{4 t^{2} - 4 t - 48}{t} = \frac{4 (t - 4) (t + 3)}{t}

Виета для t² − t − 12: произведение −12, сумма 1 → корни 4 и −3.

шаг 4.Метод интервалов в t

Обозначим числитель A = 4(t−4)(t+3)/t. Дробь A/(x+2) ≤ 0 только в двух случаях: числитель и знаменатель разных знаков. При этом x + 2 ≠ 0 по ОДЗ, поэтому знаменатель строго больше или строго меньше нуля:

\frac{A}{x + 2} \leq 0

\begin{matrix} Случай 1 & Случай 2 \\ {\begin{matrix} A \leq 0 \\ x + 2 > 0 \end{matrix} & {\begin{matrix} A \geq 0 \\ x + 2 < 0 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} \frac{4 (t - 4) (t + 3)}{t} \leq 0 \\ x + 2 > 0 \end{matrix} & {\begin{matrix} \frac{4 (t - 4) (t + 3)}{t} \geq 0 \\ x + 2 < 0 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} t \in (0; 4] \\ x > - 2 \end{matrix} & {\begin{matrix} t \in [4; + \infty) \\ x < - 2 \end{matrix} \end{matrix}

Пробная t = 1: 4(1−4)(1+3)/1 = −48 < 0 → знак «−». Выноска от нуля — условие замены t = 4ˣ > 0.

шаг 5.Обратная замена

Подставляем t = 4ˣ. Основание 4 > 1, возрастает — знак неравенства сохраняется. Условие 0 < 4ˣ выполнено автоматически, так как показательная функция всегда положительна.

\begin{matrix} {\begin{matrix} 0 < 4^{x} \leq 4 \\ x > - 2 \end{matrix} & {\begin{matrix} 4^{x} \geq 4 \\ x < - 2 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x \leq 1 \\ x > - 2 \end{matrix} & {\begin{matrix} x \geq 1 \\ x < - 2 \end{matrix} \\ x \in (- 2; 1] & x \in ⌀ \end{matrix}

Случай 2 пуст: x ≥ 1 и x < −2 несовместимы.

ответ

x \in (- 2; 1]