Задача 10150683 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не обращается в нуль. Приравниваем его к нулю и решаем показательное уравнение: 81 = 9², поэтому 81ˣ⁻⁰˙⁵ = 9²ˣ⁻¹; приводим к основанию 9 и приравниваем показатели.

ОДЗ

81^{x - \frac{1}{2}} - 9 \neq 0

81^{x - \frac{1}{2}} \neq 9

9^{2 x - 1} \neq 9^{1}

2 x - 1 \neq 1

2 x \neq 2

x \neq 1

Основание 9 > 1, поэтому 9²ˣ⁻¹ = 9 равносильно 2x − 1 = 1. Корень x = 1 отвечает точке разрыва t = 9ˣ = 9 после замены.

шаг 2.Делаем замену

Вводим t = 9ˣ, t > 0. Чтобы убрать сдвиги в показателях, умножаем числитель и знаменатель дроби на 9. В числителе 9 = 9¹ — показатель растёт на 1: 9ˣ⁻¹ → 9ˣ. В знаменателе 9 = 81⁰˙⁵ (9 = √81) — показатель растёт на ½: 81ˣ⁻⁰˙⁵ → 81ˣ. Затем 81ˣ = (9ˣ)² = t².

t = 9^{x}, t > 0

9^{x - 1} \cdot 9 = 9^{x - 1} \cdot 9^{1} = 9^{(x - 1) + 1} = 9^{x}

81^{x - \frac{1}{2}} \cdot 9 = 81^{x - \frac{1}{2}} \cdot 81^{\frac{1}{2}} = 81^{(x - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2}} = 81^{x}

81^{x} = {(9^{x})}^{2} = t^{2}

\frac{6 \cdot 9^{x - 1} - 10}{81^{x - \frac{1}{2}} - 9} \leq 1

\frac{(6 \cdot 9^{x - 1} - 10) \cdot 9}{(81^{x - \frac{1}{2}} - 9) \cdot 9} \leq 1

\frac{6 \cdot 9^{x - 1} \cdot 9 - 90}{81^{x - \frac{1}{2}} \cdot 9 - 81} \leq 1

\frac{6 \cdot 9^{x} - 90}{81^{x} - 81} \leq 1

\frac{6 t - 90}{t^{2} - 81} \leq 1

\frac{6 (t - 15)}{(t - 9) (t + 9)} \leq 1

Числитель и знаменатель умножаем на одно и то же число 9 — значение дроби не меняется (9·9⁻¹ = 1), направление неравенства сохраняется.

шаг 3.Сводим к одной дроби

\frac{6 (t - 15) - (t - 9) (t + 9)}{(t - 9) (t + 9)} \leq 0

\frac{6 t - 90 - t^{2} + 81}{(t - 9) (t + 9)} \leq 0

\frac{- {(t - 3)}^{2}}{(t - 9) (t + 9)} \leq 0

6t − 90 − (t² − 81) = −t² + 6t − 9 = −(t − 3)².

шаг 4.Метод интервалов в t

Наносим на ось все особые точки выражения −(t − 3)²/((t − 9)(t + 9)). Корень числителя t = 3 — чётной кратности 2: рисуем петельку, знак через точку не меняется; точка закрашена (нестрогое ≤) и даёт в ответе изолированную точку. Точки разрыва знаменателя t = −9 и t = 9 — выколоты. По методу интервалов дробь ≤ 0 на (−∞; −9) ∪ {3} ∪ (9; +∞). Условие замены t = 9ˣ > 0 отсекает левый луч (−∞; −9) — остаётся {3} ∪ (9; +∞).

Пробная точка t = 0: −(0 − 3)²/((0 − 9)(0 + 9)) = −9/(−81) > 0 → в средней зоне «+». Точка t = 10: −(10 − 3)²/((10 − 9)(10 + 9)) = −49/19 < 0 → справа «−»; слева от t = −9 знак тоже «−». Через петельку при t = 3 знак не меняется.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 9ˣ, и приводим обе части к основанию 3 (9 = 3²). Основание 3 > 1, показательная функция возрастает — при переходе к показателям знак неравенства сохраняется.

1) 9^{x} = 3

3^{2 x} = 3^{1}

2 x = 1

x = \frac{1}{2}

2) 9^{x} > 9

3^{2 x} > 3^{2}

2 x > 2

x > 1

Из 3²ˣ = 3¹ следует 2x = 1, из 3²ˣ > 3² — 2x > 2. Точка x = 1/2 — изолированное решение (отвечает закрашенной t = 3), луч x > 1 — интервалу t > 9.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Делаем замену

шаг 3.Сводим к одной дроби

шаг 4.Метод интервалов в t

шаг 5.Обратная замена

ответ