условие
шаг 1.Группировка
ОДЗ — вся числовая прямая. Раскладываем составные основания и выносим общие множители.
14ˣ = 2ˣ·7ˣ и 10ˣ = 2ˣ·5ˣ → общий множитель 2ˣ. Затем общая скобка (7ˣ − 5ˣ). В последней строке 14ˣ − 2ˣ⁺¹ = 2ˣ·7ˣ − 2·2ˣ = 2ˣ(7ˣ − 2).
шаг 2.Находим корни
2ˣ > 0 всегда — на знак не влияет. Оба оставшихся множителя — разности степеней,Когда работает метод интервалов?
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0. приравниваем каждый к нулю.
➀ Полиномы и дроби — корни находятся алгебраически, между ними знак постоянен.
Пример:
Пример:
➁ Разности степеней одного основания
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
➂ Разность одинаковых степеней
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
· В ② и ③ только разность! Сумма всегда , корня нет → не учитываем.
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Смешанные — не работает
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0.
7ˣ − 5ˣ = 0 ⟺ 7ˣ = 5ˣ ⟺ (7/5)ˣ = 1 — делим обе части на 5ˣ > 0. log₇ 2 ≈ 0,356.
шаг 3.Метод интервалов
Оба корня нечётной кратности. Основания > 1, возрастаютПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— знаки чередуются.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Пробная x = −1: (5/7 − 1)(1/7 − 2) = (−2/7)(−13/7) > 0, знак «+».