Задача 10150550 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

4^{x + \frac{3}{2}} - 33 \cdot 2^{x - 1} + 1 \leq 0

шаг 1.Готовим к замене

ОДЗ — вся числовая прямая. Раскладываем степени так, чтобы выделить (2ˣ) и получить квадратный трёхчлен. Замена t = 2ˣ; домножение на 2 (положительное) знак не меняет.

4^{x + \frac{3}{2}} = 4^{x} \cdot 4^{\frac{3}{2}} = 4^{x} \cdot 8 = 8 \cdot {(2^{x})}^{2}

2^{x - 1} = \frac{2^{x}}{2^{1}} = \frac{2^{x}}{2}

8 \cdot {(2^{x})}^{2} - 33 \cdot \frac{2^{x}}{2} + 1 \leq 0

t = 2^{x}, t > 0

8 t^{2} - \frac{33 t}{2} + 1 \leq 0

16 t^{2} - 33 t + 2 \leq 0

шаг 2.Раскладываем трёхчлен

Находим корни через дискриминант. Корень дискриминанта подбираем сравнением квадратов: 31² = 961.

16 t^{2} - 33 t + 2 = 0

D = 33^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 2 = 1089 - 128 = 961

t = \frac{33 \pm \sqrt{961}}{32} = \frac{33 \pm 31}{32} \begin{matrix} = 2 \\ = \frac{1}{16} \end{matrix}

16 t^{2} - 33 t + 2 = 16 (t - \frac{1}{16}) (t - 2)

16 (t - \frac{1}{16}) (t - 2) \leq 0

Виета: для 16t² − 33t + 2 сумма корней 33/16, произведение 1/8. У нас 1/16 + 2 = 33/16 и (1/16)·2 = 1/8 — оба сходятся.

шаг 3.Метод интервалов в t

Корни числителя: t = 1/16 и t = 2 — закрашены. Условие t > 0 уже выполнено — оба корня положительны.

Пробная точка t = 1 на (1/16; 2): 16(1 − 1/16)(1 − 2) = 16·(15/16)·(−1) = −15 < 0, значит знак «−».

шаг 4.Обратная замена

1/16 ≤ 2ˣ ≤ 2. Основание степени 2 > 1, функция возрастает, — знак сохраняется.

\frac{1}{16} \leq 2^{x} \leq 2

2^{- 4} \leq 2^{x} \leq 2^{1}

- 4 \leq x \leq 1

Обе границы — степени двойки: 1/16 = 2⁻⁴, 2 = 2¹.

ответ

x \in [- 4; 1]