Глава 3. Логарифмы фиксированного основания

убрать аналоги

\log_{3} (x^{2} - x - 2) \leq 1 + \log_{3} \frac{x + 1}{x - 2}

3-1-sravnenie

Сравнение логарифмов

Признак. Один-два логарифма одного основания: log_a f ⋛ log_a g или log_a f ⋛ c (число).

Решение. ОДЗ логарифмируемых выражений; при необходимости свернуть к одному логарифму с каждой стороны; снять основание по монотонности (a>1 — знак сохраняется, 0<a<1 — меняется); решить рациональное неравенство.

0802 0823 0803 0806 0807 0824 0811 0813 0826 0828 0812 0827 0818 0830 0819 0832 0834 0836 0890 0861 0865 0866 0869 0873 0874 0875 0882 0891 0885 0892 0893 0901 0902 0903 0905 0904

\log_{3} (x^{2} + 7 x + 10) + \log_{3} \frac{x + 5}{9} + 1 \geq \log_{3} (3 x^{2} + 16 x + 20)

3-1-svertka

Свёртка суммы и разности логарифмов

Признак. Три и более логарифма, связанных суммой, разностью и коэффициентами.

Решение. ОДЗ; собрать по свойствам (log a+log b=log ab, log a−log b=log(a/b), k·log a=log aᵏ) в один логарифм с каждой стороны; снять основание; решить рациональное неравенство.

0801 0822 0804 0805 0808 0837 0841 0838 0842 0839 0840 0843 0844 0894 0895 0845 0846 0847 0848 0849 0850 0851 0886 0887 0852 0853 0856 0854 0855 0857 0862 0863 0858 0859 0860 0864 0867 0868 0870 0876 0879 0881 0880 0896

\log_{2}^{2} x - 5 \log_{2} x + 6 > 0

3-1-kvadrat

Квадратные и вложенные по log

Признак. После замены t=logₐx получается квадратное неравенство; либо логарифм под логарифмом (вложенные).

Решение. Замена t=logₐx (или logₐ выражения); квадратное неравенство через дискриминант/Виета, для вложенных — послойное ОДЗ; обратная замена и снятие основания.

0809 0816 0810 0825 0814 0815 0817 0820 0835 0821 0833 0829 0831 0897 0871 0872 0878 0883 0884 0888 0906 0907 0908 0909 0910

\frac{\log_{2}^{2} x - 5}{1 - 2 \log_{2} x} \geq 2 \log_{2} x

3-2-drob

Дробь с заменой t=log и метод интервалов

Признак. Дробно-рациональное выражение относительно logₐx (логарифм в числителе и/или знаменателе).

Решение. ОДЗ (x>0, знаменатели≠0); замена t=logₐx; привести к одной дроби; метод интервалов; обратная замена и снятие основания.

1001 1006 1011 1008 1012 1013 1017 1018 1019 1020 1034 1021 1022 1023 1024 1033 1036 1037 1038 1039 1041 1042 1046 1048 1053 1049 1050 1054 1057 1058 1059 1061 1062 1063 1064 1066 1067

\frac{\log_{3} (81 x)}{\log_{3} x - 4} + \frac{\log_{3} x - 4}{\log_{3} (81 x)} \geq \frac{24 - \log_{3} x^{8}}{\log_{3}^{2} x - 16}

3-2-summa

Сумма взаимно-обратных дробей log/log

Признак. Сумма вида A/B+B/A, где A и B линейны по logₐx (например log(aˣ)/(log x−k)).

Решение. Замена t=logₐx; обозначить u=A/B; неравенство u+1/u⋛m; привести к одной дроби по u; метод интервалов; обратные замены.

1014 1015 1016 1025 1030 1026 1031 1044 1051 1052 1068 1069

\frac{\log_{5} (5 x - 27)}{\log_{5} (x - 5)} \geq 1

3-2-otnoshenie

Отношение логарифмов и переход основания

Признак. Дробь — отношение двух логарифмов (разные аргументы или основания, ln/lg).

Решение. Перейти к логарифмам одного основания (формула перехода); ОДЗ; свести к неравенству относительно одного логарифма или аргумента; метод интервалов.

1002 1003 1004 1005 1007 1009 1010 1027 1029 1028 1032 1035 1040 1043 1045 1047 1055 1056 1060 1065

\log_{2} (3 \cdot 2^{x - 1} - 1) \geq x

3-3-log-pokaz

Логарифм от показательного

Признак. Под логарифмом — показательное выражение (logₐ(bˣ−c)), либо сравнение логарифма с линейной по x частью.

Решение. ОДЗ (аргумент логарифма>0); снять логарифм по монотонности; решить показательное неравенство (замена t=bˣ при необходимости).

1201 1217 1205 1207 1208 1215 1219 1221 1225 1226 1227 1231 1232 1233 1234 1235 1236 1237 1238 1239 1241 1243 1247 1274 1248 1251 1252 1258 1260 1262 1263 1264 1266 1268 1269 1275 1279

9^{\lg x} + x^{2 \lg 3} \geq 6

3-3-pokaz-lg

Степень с логарифмом в показателе

Признак. Степени вида aˡᵍˣ или xˡᵒᵍᵇ — логарифм в показателе степени.

Решение. Логарифмирование или замена t=lg x; тождество a^{log b}=b^{log a}; свести к неравенству относительно логарифма.

1204 1210 1211 1212 1213 1224 1214 1216 1223 1242 1244 1245 1253 1257 1259 1271 1276 1277 1278

(3^{x^{2} - 4 x + 3} - 1) \log_{2} (x^{2} - 4 x + 5) \geq 0

3-3-proizvedenie

Произведение и дробь показательно-логарифмических

Признак. Произведение или дробь множителей (показательный × логарифмический), сравнение с нулём.

Решение. ОДЗ; знак каждого множителя (показательный — через монотонность, логарифмический — сравнением с 1); метод интервалов по множителям.

1202 1203 1206 1220 1209 1222 1218 1228 1229 1230 1240 1246 1249 1250 1254 1255 1256 1261 1265 1267 1270 1272 1273

3-1Многочлены первой и второй степени относительно log