условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все аргументы логарифмов положительны. Множитель x² + 2 > 0 знак не меняет, поэтому ОДЗ определяется остальными множителями.
ОДЗ
По теореме Виета для x² − 7x + 12 = 0: сумма корней должна равняться 7, произведение — 12. Подбираем 3 и 4, отсюда x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4).
шаг 2.Сворачиваем правую часть
Сумму логарифмов справа сворачиваем в логарифм произведения Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Основание 5 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем логарифм, сохраняя знак, и сравниваем аргументы.шаг 3.Делим на (3 − x) и упрощаем
Группируем множители правой части так, чтобы выделить общий (3 − x). На ОДЗ 3 − x > 0, делим на него и упрощаем.
Деление на (3 − x) допустимо: на ОДЗ x < 3 множитель 3 − x > 0, знак неравенства сохраняется.
шаг 4.Пересечение с ОДЗ
Решение x ≥ 2 пересекаем с ОДЗ x < 3 — отрезок [2; 3).
Граница x = 2 закрашена (неравенство нестрогое), x = 3 выколота (исключена ОДЗ).