условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все аргументы логарифмов положительны. Основной диапазон задаёт квадратный трёхчлен, произведение с (x − 2) поднимает нижнюю границу, а дробь и 12x новых ограничений не добавляют. Пересечение всех условий и есть ОДЗ.
По теореме Виета для x² − 2x − 24 = 0: сумма корней должна равняться 2, произведение — −24. Подбираем 6 и −4, отсюда 24 + 2x − x² = −(x − 6)(x + 4) и трёхчлен положителен между корнями. Второе условие поднимает нижнюю границу до x > 2, пересечение даёт 2 < x < 6.
шаг 2.Сворачиваем и сокращаем
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
шаг 3.Квадратное неравенство
Умножаем на 5 и приводим подобные.
Пробная точка x = 4: 5(4 − 5)(4 − 18/5) = −2 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≥): x ≤ 18/5 или x ≥ 5.
шаг 4.Пересечение с ОДЗ
Решение x ≤ 18/5 или x ≥ 5 пересекаем с ОДЗ 2 < x < 6.
Границы 2 и 6 выколоты по ОДЗ, корни 18/5 и 5 закрашены (нестрогое ≥).