условие
шаг 1.Область допустимых значений
Оба логарифма требуют положительных аргументов. После разложения x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2) первый аргумент равен (x − 4)²(x + 2). Множитель (x − 4)² чётной степени неотрицателен: знак первого условия задаёт (x + 2), а точку x = 4 он исключает. Решаем каждое условие на своей оси и пересекаем.
ОДЗ
Корни x² − 2x − 8 по теореме Виета: сумма 2, произведение −8 → 4 и −2. Множитель (x − 4)² ≥ 0 обращается в ноль лишь при x = 4 (петелька — знак не меняется), поэтому (x − 4)²(x + 2) > 0 равносильно x > −2, x ≠ 4. Второй логарифм добавляет x ≠ 4. Пересечение — x > −2, x ≠ 4.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 2.Переходим к основанию 5
По формуле перехода к новому основанию log₂₅ — половина log₅ (25 = 5²). Раскрываем логарифм произведенияПреобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
— множитель (x − 4)² квадрат, отрицательным не бывает, а x > −2 уже учтено в ОДЗ, поэтому тут применять это свойство безопасно. Одинаковое слагаемое слева и справа можно сократить без потери корней., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 3.Снятие логарифма
Изолируем логарифм в левой части. Правую часть записываем как логарифм по основанию 5 — основание 5 > 1, функция возрастает, знак сохраняетсяЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
, поэтому снимаем логарифм и сравниваем аргументы.Представляем 2 как логарифм по основанию 5: по правилу log₅(5ᵏ) = k берём k = 2, поэтому 2 = log₅(5²) = log₅25, ведь 5² = 25. Теперь обе части — логарифмы по основанию 5, и можно сравнивать аргументы.
шаг 4.Ответ на прямой
Условие x ≥ 23 лежит внутри ОДЗ (x > −2) и правее выколотой точки x = 4 — она на ответ не влияет.
Точка x = 4 не попадает в [23; +∞), поэтому в ответе не отмечается.