Задача 10151224 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

4^{\log_{4}^{2} x} + x^{\log_{4} x} \geq 2 {\sqrt{4}}^{4}

Логарифм определён при x > 0.

ОДЗ

x > 0

Степень с логарифмом в показателе переписываем как степень четвёрки: x = 4^{log₄x}, поэтому x^{log₄x} = 4^{log₄²x}. Оба слагаемых одинаковы.

x^{\log_{4} x} = {(4^{\log_{4} x})}^{\log_{4} x} = 4^{\log_{4}^{2} x}

4^{\log_{4}^{2} x} + 4^{\log_{4}^{2} x} = 2 \cdot 4^{\log_{4}^{2} x}

Правая часть: 2√4⁴ = 2·16 = 2·4². Делим на 2 и сравниваем показатели степени четвёрки.

2 \cdot 4^{\log_{4}^{2} x} \geq 2 \cdot 4^{2}

4^{\log_{4}^{2} x} \geq 4^{2}

\log_{4}^{2} x \geq 2

Степень с основанием 4 > 1 возрастает, поэтому сравниваем показатели: log₄²x ≥ 2.

Обозначим v = log₄x: v² ≥ 2 → v ≤ −√2 или v ≥ √2. Возвращаемся к x: основание 4 > 1, логарифм возрастает — снимаем его.

1) \log_{4} x \leq - \sqrt{2}

0 < x \leq 4^{- \sqrt{2}}

2) \log_{4} x \geq \sqrt{2}

x \geq 4^{\sqrt{2}}

v² ≥ 2 ⟺ |v| ≥ √2. Нижняя граница 0 случая 1 — из ОДЗ x > 0.

x \in (0; 4^{- \sqrt{2}}] \cup [4^{\sqrt{2}}; + \infty)