условие
шаг 1.Область допустимых значений
Оба логарифма требуют положительных аргументов. Решаем каждое условие на своей оси и пересекаем.
ОДЗ
Пересечение x > 4 и x > 6 даёт более сильное условие x > 6.
шаг 2.Разность квадратов
Раскладываем разность квадратов на сумму и разность логарифмовПреобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
и сворачиваем каждый множитель., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 3.Первый множитель положителен
При x > 6 дробь (x − 4)/(x − 6) > 1, поэтому первый логарифм положителен. Значит знак произведения задаёт второй множитель — он должен быть ≤ 0, и по монотонности логарифмаЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
его аргумент не превосходит 1.шаг 4.Ответ на прямой
Раскрываем (x − 4)(x − 6) ≤ 1 и решаем квадратное неравенство через дискриминант, затем пересекаем с ОДЗ x > 6.
Пробная точка x = 5: 25 − 50 + 23 = −2 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≤). Так как 5 − √2 ≈ 3,6 < 6, левая часть отрезка вне ОДЗ: остаётся (6; 5 + √2], граница 6 выколота по ОДЗ.