условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все три логарифма определены при положительных аргументах. Третий аргумент раскладывается в произведение x(7 − x), поэтому он положителен там же, где положительны первые два множителя.
ОДЗ
шаг 2.Свёртка логарифма и замена
Логарифм произведения в третьем показателе раскладываем в суммуПреобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
, поэтому третья степень распадается в произведение первых двух. Вводим замену u и v для двух базовых степеней., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 3.Разложение на множители
Переносим 90 влево и группируем слагаемые — выносим общий множитель.
Группируем: 30u − uv = u(30 − v), а 3v − 90 = −3(30 − v). Общий множитель (30 − v).
шаг 4.Знак множителя и решение
Множитель (30 − v) на всей ОДЗ положителен (оценка в рамке), поэтому знак произведения задаёт только (u − 3): остаётся u ≥ 3. Снимаем степеньПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
и логарифмЛогарифм и знак неравенства· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
по монотонности.Основания степеней 3 и логарифмов 2 больше 1 — переход к показателям и к аргументам сохраняет знак. Пересекаем x ≤ 5 с ОДЗ 0 < x < 7.