условие
шаг 1.Область допустимых значений
Положительными должны быть все три аргумента логарифмов. Дробь 1/x − 2 приводим к общему знаменателю; каждое условие задаёт ограничение на x, их пересекаем.
Ветви 4x² + 6x − 1 направлены вверх, поэтому трёхчлен положителен вне корней (−3 ± √13)/4 ≈ −1,65 и 0,15. Внутри полосы 0 < x < 1/2, заданной первыми двумя условиями, работает только правый корень: остаётся (−3 + √13)/4 < x < 1/2.
шаг 2.Сворачиваем левую часть и снимаем логарифм
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Сокращение (1 − 2x) допустимо: при x = 1/2 множитель 1 − 2x = 0 уже исключён ОДЗ (там 1 − 2x > 0) — делитель не равен нулю, корень не теряем.
шаг 3.Решаем квадратное неравенство
Раскрываем скобки слева, переносим всё вправо и приводим подобные.
Пробная точка x = 0: 6(0 − 1/6)(0 + 1) = −1 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≥): x ≤ −1 или x ≥ 1/6.
шаг 4.Пересечение с ОДЗ
Решение x ≤ −1 или x ≥ 1/6 пересекаем с ОДЗ (−3 + √13)/4 < x < 1/2. Луч x ≤ −1 в ОДЗ не попадает; от x ≥ 1/6 остаётся [1/6; 1/2), так как 1/6 правее порога ОДЗ ≈ 0,15.
Граница x = 1/6 закрашена (нестрогое ≥), x = 1/2 выколота по ОДЗ.