условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все три аргумента логарифмов положительны. Каждое условие решаем на своей оси и пересекаем.
По теореме Виета для x² − 5x + 6 = 0: сумма корней должна равняться 5, произведение — 6. Подбираем 2 и 3, отсюда x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Пробная точка x = 0: (0 − 2)(0 − 3) = 6 > 0 — знак «+» левее 2, чередование «+, −, +». Ветка x > 3 несовместна с x < 3, остаётся −4 < x < 2.
шаг 2.Свёртка и снятие логарифма
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Знак «<» сменился на «>» именно из-за убывающего основания 1/3, а не из-за умножения на −1: слагаемые переехали без изменений.
шаг 3.Сводим к кубическому неравенству
Раскрываем скобки, переносим всё в одну часть и раскладываем на множители — второй множитель оказывается полным квадратом.
После переноса получается 0 > x³ − x² − 5x − 3; знак «<» появился не от умножения на −1, а от перестановки сторон местами. Корень x = 3 подбираем среди делителей свободного члена: 27 − 9 − 15 − 3 = 0, значит (x − 3) — множитель. Деление даёт x³ − x² − 5x − 3 = (x − 3)(x² + 2x + 1), а x² + 2x + 1 = x² + 2·x·1 + 1² = (x + 1)² — полный квадрат.
шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ
Корень x = 3 выколот (неравенство строгое). Корень x = −1 чётной кратности → петелька, тоже выколот, знак через него не меняется. Решение неравенства пересекаем с ОДЗ на отдельных осях.