Задача 10151262 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

2 x \geq \log_{2} (\frac{35}{3} \cdot 6^{x - 1} - 2 \cdot 9^{x - \frac{1}{2}})

шаг 1.Область допустимых значений

Аргумент логарифма положителен. Сначала собираем степени: 35/3·6^{x−1} = 35/18·6ˣ, 2·9^{x−1/2} = 2/3·9ˣ.

ОДЗ

\frac{35}{18} \cdot 6^{x} - \frac{2}{3} \cdot 9^{x} > 0

\frac{35}{18} {(\frac{2}{3})}^{x} - \frac{2}{3} > 0

{(\frac{2}{3})}^{x} > \frac{12}{35} \Rightarrow x < \log_{2 / 3} \frac{12}{35}

Делим на 9ˣ > 0; (2/3)ˣ > (2/3)·(18/35) = 12/35. Основание 2/3 < 1, функция убывает — знак неравенства при логарифмировании переворачивается, поэтому x < log_{2/3}(12/35).

шаг 2.Снимаем логарифм

Записываем 2x = log₂2^{2x} = log₂4ˣ; основание 2 > 1, функция возрастает — снимаем логарифм и переносим всё влево.

\log_{2} 4^{x} \geq \log_{2} (\frac{35}{18} \cdot 6^{x} - \frac{2}{3} \cdot 9^{x})

4^{x} \geq \frac{35}{18} \cdot 6^{x} - \frac{2}{3} \cdot 9^{x}

4^{x} - \frac{35}{18} \cdot 6^{x} + \frac{2}{3} \cdot 9^{x} \geq 0

шаг 3.Замена t = (3/2)ˣ

Делим обе части на 4ˣ > 0: 9ˣ/4ˣ = (3/2)²ˣ = t², 6ˣ/4ˣ = (3/2)ˣ = t. Получаем квадратное неравенство относительно t.

\frac{2}{3} {(\frac{3}{2})}^{2 x} - \frac{35}{18} {(\frac{3}{2})}^{x} + 1 \geq 0

t = {(\frac{3}{2})}^{x} > 0 : \frac{2}{3} t^{2} - \frac{35}{18} t + 1 \geq 0 | \cdot 18

12 t^{2} - 35 t + 18 \geq 0

12 t^{2} - 35 t + 18 = 0

D = {(- 35)}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 18 = 1225 - 864 = 361

t = \frac{35 \pm \sqrt{361}}{24} = \frac{35 \pm 19}{24} \begin{matrix} = \frac{9}{4} \\ = \frac{2}{3} \end{matrix}

12 (t - \frac{9}{4}) (t - \frac{2}{3}) \geq 0

Пробная точка t = 1: 12(1 − 9/4)(1 − 2/3) = −5 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≥): t ≤ 2/3 или t ≥ 9/4. Выноска от нуля — условие замены t = (3/2)ˣ > 0: из левого луча остаётся только 0 < t ≤ 2/3.

шаг 4.Обратная замена

Парабола ветвями вверх: t ≤ 2/3 или t ≥ 9/4. Возвращаемся к x через t = (3/2)ˣ; основание 3/2 > 1, функция возрастает. Пересекаем с ОДЗ — правый край отрезается границей log_{2/3}(12/35).

1) {(\frac{3}{2})}^{x} \leq \frac{2}{3}

{(\frac{3}{2})}^{x} \leq {(\frac{3}{2})}^{- 1}

x \leq - 1

2) {(\frac{3}{2})}^{x} \geq \frac{9}{4}

{(\frac{3}{2})}^{x} \geq {(\frac{3}{2})}^{2}

x \geq 2

Ветвь x ≤ −1 целиком в ОДЗ. Ветвь x ≥ 2 пересекается с ОДЗ x < log_{2/3}(12/35) ≈ 2,64 — остаётся [2; log_{2/3}(12/35)).

ответ

x \in (- \infty; - 1] \cup [2; \log_{2 / 3} \frac{12}{35})