условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифмы требуют x > 0; знаменатель (log₅x + 1)² ≠ 0 ⟹ x ≠ 1/5.
ОДЗ
шаг 2.Замена t = log₅ x
Приводим логарифмы к основанию 5Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
; правая часть сворачивается в полный квадрат., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 3.Сводим к модулю
Умножаем на (t + 1)² > 0 и извлекаем корень.
Случай 1: пробная точка t = −1 даёт (−1)(−2 + 3) = −1 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≥). Случай 2: у 2t² + 3t + 2 дискриминант отрицателен, ветви вверх — трёхчлен положителен при всех t, и неравенство ≤ 0 решений не имеет.
шаг 4.Обратная замена
Основание 5 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем логарифм.Точка x = 1/5 (t = −1) в решение не входит: −1 > −3/2 и −1 < 0.