условие
шаг 1.Область допустимых значений
Под внешними логарифмами должны стоять положительные выражения: внутренний −log₂x > 0 и (log₂x)² > 0. Второе ограничение (log₂x ≠ 0) выполнено автоматически.
ОДЗ
шаг 2.Вводим замену
Во втором слагаемом log₂x < 0, поэтому квадрат вносим под модуль и оба слагаемых выражаем через t = log₂(−log₂x). Переменная t принимает любые значения.
шаг 3.Решаем неравенство относительно t
Переносим всё влево и раскладываем квадратный трёхчлен на множители.
Корни t² + 4t − 5 = 0 по теореме Виета: сумма −4, произведение −5, отсюда t = −5 и t = 1. Парабола ветвями вверх, поэтому ≤ 0 между корнями.
шаг 4.Обратная замена
Возвращаемся к x. Снимаем логарифм (основание 2 > 1, знак сохраняетсяЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
), затем при умножении двойного неравенства на −1 знаки переворачиваются, и снимаем второй логарифм.При умножении двойного неравенства 1/32 ≤ −log₂x ≤ 2 на −1 знаки переворачиваются и крайние выражения меняются местами: −2 ≤ log₂x ≤ −1/32. Полученный отрезок целиком лежит в ОДЗ 0 < x < 1.