Задача 10151240 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{14^{x}}{7 {(\log_{7} {(x - 3)}^{2})}^{4} \cdot \log_{6} (x + 2)} \leq \frac{{(4 \cdot 2^{x})}^{x}}{4 {(\log_{7} {(x - 3)}^{2})}^{4} \cdot \log_{6} (x + 2)}

шаг 1.Область допустимых значений

Аргументы логарифмов положительны, знаменатели не равны нулю. Множитель (log₇((x−3)²))⁴ — чётная степень, он зануляется там, где log₇((x−3)²) = 0.

ОДЗ

{(x - 3)}^{2} > 0 \Rightarrow x \neq 3

x + 2 > 0 \Rightarrow x > - 2

\log_{7} {(x - 3)}^{2} \neq 0 \Rightarrow {(x - 3)}^{2} \neq 1

\Rightarrow x \neq 2, x \neq 4

\log_{6} (x + 2) \neq 0 \Rightarrow x + 2 \neq 1 \Rightarrow x \neq - 1

x \in (- 2; - 1) \cup (- 1; 2) \cup (2; 3) \cup (3; 4) \cup (4; + \infty)

шаг 2.Переносим в одну сторону

Знаменатели отличаются числовым множителем — 7 слева и 4 справа. Обозначим D = (log₇((x−3)²))⁴·log₆(x+2) — общий множитель. Переносим правую дробь влево к общему знаменателю 28D.

\frac{14^{x}}{7 D} - \frac{{(4 \cdot 2^{x})}^{x}}{4 D} \leq 0

\frac{4 \cdot 14^{x} - 7 {(4 \cdot 2^{x})}^{x}}{28 D} \leq 0

шаг 3.Раскрываем показатель и выносим 2ˣ

Раскрываем степень (4·2ˣ)ˣ и представляем 14ˣ через простые множители. Из числителя выносим 2ˣ > 0 — знак числителя задаёт оставшаяся скобка.

{(4 \cdot 2^{x})}^{x} = 4^{x} \cdot 2^{x^{2}} = 2^{x^{2} + 2 x}

14^{x} = 2^{x} \cdot 7^{x}

4 \cdot 14^{x} - 7 (4 \cdot 2^{x})^{x} = 2^{x} (4 \cdot 7^{x} - 7 \cdot 2^{x^{2} + x})

шаг 4.Знак показательной скобки

В скобке — разность двух положительных показательных выражений. Сравниваем их, логарифмируя по основанию 10 (логарифм возрастает — знак сохраняется), и раскладываем на множители.

4 \cdot 7^{x} \geq 7 \cdot 2^{x^{2} + x}

\lg 4 + x \lg 7 \geq \lg 7 + (x^{2} + x) \lg 2

\lg 2 (x^{2} + x - 2) - \lg 7 (x - 1) \leq 0

(x - 1) [\lg 2 (x + 2) - \lg 7] \leq 0

x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1

\lg 2 (x + 2) = \lg 7 \Rightarrow x + 2 = \log_{2} 7

x = \log_{2} 7 - 2 = \log_{2} \frac{7}{4}

4 \cdot 7^{x} - 7 \cdot 2^{x^{2} + x} \geq 0 \Leftrightarrow \log_{2} \frac{7}{4} \leq x \leq 1

Скобка положительна на (log₂(7/4); 1) и отрицательна вне этого отрезка; в точках x = log₂(7/4) и x = 1 она равна нулю.

шаг 5.Метод интервалов

Множитель 2ˣ положителен, значит знак числителя совпадает со знаком скобки: он положителен на (log₂(7/4); 1). В знаменателе (log₇((x−3)²))⁴ ≥ 0 — чётная степень (петельки в x = 2, 3, 4: знак не меняется), а знак задаёт log₆(x+2): он отрицателен на (−2; −1) и положителен при x > −1. Наносим нули числителя (закрашены, ≤) и точки разрыва (выколоты).

Множитель (log₇((x−3)²))⁴ всюду ≥ 0, поэтому на (−1; +∞) знак дроби задаёт только числитель. Пробная точка x = 0 ∈ (−1; log₂(7/4)): числитель 4·1 − 7·1 < 0, знаменатель > 0 → дробь < 0 ✓. Пробная точка x = 1,5: числитель < 0 → дробь < 0 ✓. Точки x = 2, 3, 4 выколоты (петелька, знак не меняется).

ответ

x \in (- 1; \log_{2} \frac{7}{4}] \cup [1; 2) \cup (2; 3) \cup (3; 4) \cup (4; + \infty)