условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифм определён при x > 0. Дополнительные ограничения (знаменатели не равны нулю) учтём после замены.
шаг 2.Упрощаем второй знаменатель
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 3.Замена u = t − 4
Оба знаменателя выражаются через t − 4. Обозначим u = t − 4 = log₃x − 4. Умножаем неравенство на u² > 0 (при u ≠ 0) и раскладываем квадратный трёхчлен.
Корни u² + 6u + 8 по теореме Виета: сумма −6, произведение 8 → u = −2 и u = −4. Умножение на u² > 0 знак неравенства сохраняет; случай u = 0 (то есть log₃x = 4) исключён — в нём знаменатели обращаются в ноль.
шаг 4.Метод интервалов в u
Корни u = −4 и u = −2 — закрашены (нестрогое ≥). Парабола ветвями вверх неотрицательна вне корней. Точка u = 0 будет выколота при возврате к x (знаменатели не определены).
Пробная точка u = 0: 0 + 0 + 8 = 8 > 0 → знак «+». Решение: u ≤ −4 или u ≥ −2.
шаг 5.Обратная замена
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Нижняя граница 0 случая 1 — из ОДЗ x > 0. Точка x = 81 выколота: в ней log₃x = 4, знаменатели не определены.