условие
шаг 1.Область допустимых значений
Оба аргумента логарифмов положительны. Левый — куб разности по формуле (a − b)³, на ОДЗ требуется (x − 1)³ > 0, то есть x > 1. Правый — разность квадратов; методом интервалов x < −1 или x > 1. Пересечение даёт x > 1.
ОДЗ
Куб разности: a³ − 3a²b + 3ab² − b³ = (a − b)³ с b = 1. Разность квадратов x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
шаг 2.Приводим к основанию 2
Пересчитываем левый логарифм через основание 2 (формула перехода к новому основанию степени) Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
и подставляем разложение из шага 1 в правую часть., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
На ОДЗ x > 1 модуль |x − 1| = (x − 1).
шаг 3.Снимаем логарифм
На ОДЗ x > 1 оба сомножителя (x − 1) и (x + 1) положительны, поэтому log_a(uv) = log_a u + log_a v применимо — раскладываем правый логарифм произведения в сумму. С обеих сторон стоит log₂(x − 1), вычитаем. Свободный член 5 представляем как log₂ 2⁵ = log₂ 32 и снимаем логарифм: основание логарифма 2 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— знак неравенства сохраняется.Разложение log₂(uv) = log₂u + log₂v требует u > 0 и v > 0; на ОДЗ x > 1 оба условия выполнены — новых ограничений не вводим. Сокращение log₂(x − 1) допустимо: x = 1 уже исключено ОДЗ — корень не теряем.
шаг 4.Пересечение с ОДЗ
Решение x ≤ 31 пересекаем с ОДЗ x > 1.