условие
шаг 1.Снимаем логарифм
Правую часть 4x записываем логарифмом того же основания. Основание 3 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем его. Слагаемое 81ˣ сокращается с обеих сторон. Условие положительности аргумента при этом выполняется автоматически.шаг 2.Делаем замену
Обозначим t = 4ˣ, t > 0. Тогда 16ˣ = t². Раскладываем квадратный трёхчлен.
Корни t² − 18t + 32 по Виета: сумма 18, произведение 32 → t = 2 и t = 16.
шаг 3.Метод интервалов в t
Корни t = 2 и t = 16 — закрашены (нестрогое ≥). Парабола ветвями вверх неотрицательна вне корней. Условие t > 0 не отсекает (оба корня положительны).
Пробная точка t = 4: 16 − 72 + 32 = −24 < 0 → знак «−». Решение: t ≤ 2 или t ≥ 16.
шаг 4.Обратная замена
Подставляем t = 4ˣ. Основание 4 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— сравниваем показатели степени.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
2 = 4^{1/2}, 16 = 4²; основание 4 > 1, поэтому x ≤ 1/2 и x ≥ 2.