условие
шаг 1.Область допустимых значений
Степень 7^{−x²} ≤ 1 < 3, поэтому 7^{−x²} − 3 < 0 при любом x. Чтобы оба логарифма слева были определены, аргументы должны быть положительны, а это требует, чтобы вторая скобка 7^{−x²+16} − 1 тоже была отрицательной.
При x² > 16 обе скобки (7^{−x²} − 3) и (7^{−x²+16} − 1) отрицательны, значит и их произведение, и их частное положительны — оба логарифма определены.
шаг 2.Свёртываем левую часть
Сумма логарифмов — логарифм произведения. Произведение скобок на их частное даёт точный квадрат первой скобки: вторые множители (7^{−x²+16} − 1) сокращаются.
log₂A + log₂B = log₂(AB); множитель (7^{−x²+16} − 1) стоит и в числителе, и в знаменателе — сокращается.
шаг 3.Снимаем логарифм
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
шаг 4.Сравниваем модули скобок
На ОДЗ x² > 16. Тогда 7^{−x²} < 7^{−16} (очень малая величина), поэтому 3 − 7^{−x²} близко к 3. Аналогично 7 − x² < −9, значит 7^{7−x²} < 7^{−2} мало, и 2 − 7^{7−x²} близко к 2. Сравнение квадратов сводится к сравнению модулей.
Обе скобки 3 − 7^{−x²} > 0 и 2 − 7^{7−x²} > 0, поэтому из неравенства квадратов следует такое же неравенство самих скобок.
шаг 5.Неравенство выполнено на всём ОДЗ
Правая часть 7^{−x²} − 7^{7−x²} — это 7^{−x²}(1 − 7⁷) < 0 (так как 7⁷ > 1). Отрицательная величина всегда меньше 1, поэтому неравенство верно для любого x из ОДЗ. Новых ограничений нет — ответом служит само ОДЗ x² > 16.