Задача 10151236 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{x^{2} + 1} \frac{2 \cdot 9^{x} - 19 \cdot 3^{x} + 40}{9^{x} - 11 \cdot 3^{x} + 24} \geq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Основание логарифма x² + 1 > 0 и не равно 1, поэтому x ≠ 0. Аргумент логарифма должен быть положителен — это условие учтём вместе с решением.

ОДЗ

x^{2} + 1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 0

При x ≠ 0 основание x² + 1 > 1.

шаг 2.Снимаем логарифм

Основание x² + 1 > 1, логарифм возрастает. Значит log ≥ 0 равносильно «аргумент ≥ 1» (заодно аргумент положителен).

\frac{2 \cdot 9^{x} - 19 \cdot 3^{x} + 40}{9^{x} - 11 \cdot 3^{x} + 24} \geq 1

Логарифм при основании больше 1 неотрицателен только когда его аргумент не меньше 1.

шаг 3.Замена t = 3ˣ

Обозначим t = 3ˣ, причём t > 0; тогда 9ˣ = t². Переносим 1 влево и приводим к одной дроби. Числитель чудесно сворачивается в полный квадрат.

t = 3^{x} > 0 : \frac{2 t^{2} - 19 t + 40}{t^{2} - 11 t + 24} - 1 \geq 0

\frac{(2 t^{2} - 19 t + 40) - (t^{2} - 11 t + 24)}{t^{2} - 11 t + 24} \geq 0

\frac{t^{2} - 8 t + 16}{(t - 3) (t - 8)} \geq 0

\frac{{(t - 4)}^{2}}{(t - 3) (t - 8)} \geq 0

По теореме Виета для t² − 11t + 24 = 0: сумма корней должна равняться 11, произведение — 24. Подбираем t₁ = 3 и t₂ = 8, отсюда знаменатель t² − 11t + 24 = (t − 3)(t − 8). Числитель — полный квадрат: t² − 8t + 16 = (t − 4)².

шаг 4.Метод интервалов в t

Числитель (t − 4)² ≥ 0, поэтому знак дроби задаёт знаменатель (t − 3)(t − 8). Корень t = 4 — чётной кратности → петелька, знак через него не меняется; но в самой точке дробь равна 0, что подходит под ≥ 0, поэтому t = 4 входит изолированно. Точки разрыва t = 3 и t = 8 выколоты.

На (3; 8) знаменатель < 0 — дробь отрицательна, кроме самой точки t = 4, где числитель обнуляется и дробь равна 0 (входит в ответ).

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x. Основание степени 3 > 1, функция 3ˣ возрастает — логарифмируем, сохраняя знак. Точку x = 0 выкалываем по ОДЗ.

3^{x} < 3 \Rightarrow x < 1

3^{x} = 4 \Rightarrow x = \log_{3} 4

3^{x} > 8 \Rightarrow x > \log_{3} 8

Из t < 3 получаем x < 1, но точку x = 0 (она внутри) выкалываем по ОДЗ. Точка x = log₃4 ≈ 1,26 — изолированная (петелька).

ответ

x \in (- \infty; 0) \cup (0; 1) \cup {\log_{3} 4} \cup (\log_{3} 8; + \infty)

$\log_{x^{2} + 1} \frac{2 \cdot 4^{x} - 15 \cdot 2^{x} + 23}{4^{x} - 9 \cdot 2^{x} + 14} \geq 0$