условие
шаг 1.Область допустимых значений
Справа логарифм требует x − 2 > 0. Слева нужен положительный аргумент (2−x)² > 0, то есть x ≠ 2. Общее условие: x > 2.
ОДЗ
шаг 2.Упрощаем показатель слева
При x > 2 имеем (2−x)² = (x−2)², поэтому log₃((2−x)²) = 2·log₃(x−2)Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Обозначим u = log₃(x−2)., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 3.Приводим к одному основанию 5
Записываем 1/125 = 5⁻³ и сводим левую часть к степени пятёрки. Основание 5 > 1, функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— сравниваем показатели.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
шаг 4.Квадратное неравенство
Переносим всё влево и решаем квадратное неравенство относительно u.
u = (1 ± √49)/8 = 1 и −3/4. Парабола ветвями вверх, значит ≥ 0 вне корней.
шаг 5.Возвращаемся к x
Подставляем u = log₃(x−2) в каждое условие; основание 3 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
. Не забываем x > 2 из ОДЗ.3⁻⁰,⁷⁵ ≈ 0,44 — левый интервал прижат к точке 2. Точка 2 выколота (ОДЗ), правые границы входят.