условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все три аргумента логарифмов должны быть положительны; выписываем условия и берём их пересечение.
ОДЗ
При x − 1 > 0 числитель x² > 0, поэтому дробь x²/(8(x − 1)) > 0 автоматически.
шаг 2.Раскладываем логарифм дроби
Логарифм частного раскрываем в разность логарифмовПреобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
и подставляем результат в левую часть., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
8x − 8 = 8(x − 1), а log₂8 = 3.
шаг 3.Делаем замену
Слагаемое −log₂(x − 1) стоит в обеих частях — вычитаем его. Обозначим t = log₂x и переносим всё влево.
Корни t² + 6t − 7 по теореме Виета: сумма −6, произведение −7 → t = −7 и t = 1.
шаг 4.Метод интервалов в t
Корни t = −7 и t = 1 — закрашены (нестрогое ≤). Парабола ветвями вверх неположительна между корнями.
Пробная точка t = 0: −7 < 0 → знак «−». Решение: −7 ≤ t ≤ 1.
шаг 5.Обратная замена
Подставляем t = log₂x. Основание 2 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем его. −7 = log₂(1/128), 1 = log₂2.Пересекаем 1/128 ≤ x ≤ 2 с ОДЗ x > 1: остаётся 1 < x ≤ 2.