Задача 10151228 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Основание логарифма переменное — может быть и больше, и меньше единицы, поэтому знак множителя-логарифма задаём методом рационализации: знак log_a b совпадает со знаком (a − 1)(b − 1). Линейный множитель 5x − 13 остаётся без изменений. Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничение ② на основание.

(5 x - 13) \cdot \log_{2 x - 5} (x^{2} - 6 x + 10) \geq 0

⟺ {\begin{matrix} (5 x - 13) ((2 x - 5) - 1) ((x^{2} - 6 x + 10) - 1) \geq 0 & 1 \\ 2 x - 5 > 0, 2 x - 5 \neq 1 & 2 \end{matrix}

Аргумент логарифма ограничений не даёт: x² − 6x + 10 = (x − 3)² + 1 ≥ 1 > 0 при любом x, поэтому отдельной строкой в систему он не входит.

шаг 2.Неравенство ①

Упрощаем ①: (2x − 5) − 1 = 2(x − 3), а (x² − 6x + 10) − 1 = (x − 3)². Множители с (x − 3) собираются в куб, постоянный множитель 2 > 0 на знак не влияет — делим на него.

1 (5 x - 13) ((2 x - 5) - 1) ((x^{2} - 6 x + 10) - 1) \geq 0

(5 x - 13) \cdot 2 (x - 3) \cdot {(x - 3)}^{2} \geq 0 | : 2

(5 x - 13) {(x - 3)}^{3} \geq 0

Пробная точка x = 2,8: (14 − 13)(2,8 − 3)³ = −0,008 < 0 — знак «−» между корнями, дальше чередование (у корня 3 кратность 3 — нечётная, знак меняется). Оба корня закрашены (нестрогое ≥). Решение ①: (−∞; 13/5] ∪ [3; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно и не равно единице.

2 2 x - 5 > 0, 2 x - 5 \neq 1

x > \frac{5}{2}, x \neq 3

Решение ②: (5/2; 3) ∪ (3; +∞).

шаг 4.Пересечение

Сводим оси ① и ② в одну. Ограничение ② обрезает левый луч ① слева границей 5/2 и выкалывает точку 3, где основание логарифма равнялось бы единице.

Точка 13/5 = 2,6 закрашена: там первый множитель равен нулю и произведение обращается в ноль. Точка 3 выколота ограничением ②, хотя в ① она была закрашена.

условие

шаг 1.Метод рационализации

шаг 2.Неравенство ①

шаг 3.Ограничение ②

шаг 4.Пересечение

ответ