условие

lg2⁡(x+1)2(x+4)3<lg2⁡x+427

шаг 1.Область допустимых значений

Аргументы обоих логарифмов положительны. Решаем каждое условие на своей оси и пересекаем. Множитель (x + 1)² чётной степени неотрицателен: знак первого условия задаёт (x + 4), а точку x = −1 он исключает.

ОДЗ
(x+1)2(x+4)3>0
(x+1)2(x+4)>0
x>−4,x≠−1
x+427>0
x+4>0
x>−4
−++I условие4−1−
−∞
+∞
x
II условие4−
−∞
+∞
x
ОДЗ4−1−
−∞
+∞
x
Чётная степень (x + 1)² неотрицательна и обращается в ноль лишь при x = −1, поэтому (x + 1)²(x + 4) > 0 равносильно x > −4, x ≠ −1 (в точке −1 петелька — знак не меняется). Второе условие линейно: x + 4 > 0. Пересечение даёт x > −4, x ≠ −1.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
+ +
(−∞;a)∪(a;+∞)
≥ 0
+ +
(−∞;+∞)
< 0
+ +
⌀
≤ 0
+ +
{a}
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.

шаг 2.Раскладываем разность квадратов

Неравенство имеет вид A² < B² с A = lg первого аргумента, B = lg второго. Переносим всё влево и раскладываем по формуле A² − B² = (A − B)(A + B). Разность логарифмов — логарифм частного, сумма — логарифм произведения.

lg2⁡(x+1)2(x+4)3−lg2⁡x+427<0
lg⁡(x+1)2(x+4)3⋅27x+4⋅lg⁡(x+1)2(x+4)3⋅x+427<0
lg⁡(9(x+1)2)⋅lg⁡(x+1)2(x+4)281<0

Разность: lg M − lg N = lg(M/N); множитель (x + 4) сокращается (x = −4 вне ОДЗ, ничего не теряем), остаётся 9(x + 1)². Сумма: lg M + lg N = lg(MN), здесь (x + 4)·(x + 4) = (x + 4)² и 3·27 = 81.

шаг 3.Знаки множителей

Произведение двух логарифмов отрицательно, когда множители разных знаков. Логарифм по основанию 10 возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция y=loga⁡x монотонна при x>0. При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: loga⁡A≶loga⁡B⟺A≶B (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, loga⁡A≤loga⁡B⟺A≥B.
Число c превращаем в логарифм того же основания: c=loga⁡ac — тогда сравниваем аргументы (не забывая A>0).
, поэтому он отрицателен при аргументе в интервале (0; 1) и положителен при аргументе больше 1.
lg⁡(9(x+1)2)<0⇔9(x+1)2<1⇔−43<x<−23
lg⁡(x+1)2(x+4)281<0⇔((x+1)(x+4))2<81
(x+1)(x+4)<9⇔x2+5x−5<0
D=25+20=45,x=−5±352
x<−5+352(на ОДЗ)

Из 9(x + 1)² < 1 следует |x + 1| < 1/3, то есть −4/3 < x < −2/3. Во втором множителе нижняя оценка −9 < (x + 1)(x + 4) верна всегда (минимум произведения −2,25), поэтому |(x + 1)(x + 4)| < 9 сводится к x² + 5x − 5 < 0; на ОДЗ (x > −4) подходит x < (−5 + 3√5)/2.

шаг 4.Метод интервалов

Отмечаем на оси граничные точки x = −4/3 и x = −2/3 (нули первого множителя) и x = (−5 + 3√5)/2 (нуль второго), все выколоты — неравенство строгое. Точка x = −1 выколота по ОДЗ. Знак произведения определяем по знакам множителей.

−+−+1−
−43
−23
−5+3√52
−∞
+∞
x

На (−4; −4/3): первый множитель > 0, второй < 0 → произведение «−» ✓. На (−4/3; −2/3): оба < 0 → «+». На (−2/3; (−5 + 3√5)/2): первый > 0, второй < 0 → «−» ✓. Правее обоих корней оба > 0 → «+». Точка x = −1 лежит внутри «+»-интервала и на ответ не влияет.

ответ

x∈(−4;−43)∪(−23;−5+352)
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -